Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
VI . УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙСтр 1 из 2Следующая ⇒
VI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ СЖИМАЕМОЙ (УПРУГОЙ) ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1. Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации упругой жидкости и газа по закону Дарси Составим дифференциальное уравнение фильтрации однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде на основе уравнения неразрывности потока (2.11)
(6.1)
и уравнений движения (2.4)
, , , (6.2)
т.е. считаем фильтрацию сжимаемого флюида r=r(Р) по закону Дарси, процесс изотермический (Т=const), при этом вязкость флюида и проницаемость зависят от давления, т.е. m=m(Р) и k=k(Р). Введем обобщенную функцию давления следующим образом. Примем, что ее дифференциал
, (6.3) тогда (6.4.)
будем называть обобщенной функцией Лейбензона. Так как функция и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (6.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:
.
Из сравнения коэффициентов при dx, dy, dz, dt получаем
; ; ;
. (6.5)
Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации с использованием (6.5)
; ;
. (6.6)
Далее, подставив (6.6) в уравнение неразрывности (6.1). получим
(6.7)
или (6.8)
- это и есть дифференциальное уравнение неустановившегося движения однородного флюида в однородной пористой среде по закону Дарси. В случае установившейся фильтрации и уравнение (6.7) принимает вид
, (6.9)
или , (6.10)
т.е. при установившейся фильтрации обобщенная функция Лейбензона удовлетворяет уравнению Лапласа. Аналогия установившейся фильтрации сжимаемого флюида с фильтрацией несжимаемой жидкости Введение функции Лейбензона в уравнения позволяет установить аналогию между установившейся фильтрацией сжимаемого флюида и установившейся фильтрацией несжимаемой жидкости. В дальнейшем принимаем, что проницаемость среды и динамический коэффициент вязкости флюида постоянны, т.е. k=const и m=const, а плотность флюида r=r(Р). Тогда можно ввести функцию Лейбензона как
, (6.11)
при этом . (6.12)
Запишем закон Дарси для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости в дифференциальной форме (1.15) через расход
, (6.13)
где Q=const; w(S) - площадь поперечного сечения струйки.
При установившейся фильтрации сжимаемого флюида по всей длине струйки массовый расход сохраняется постоянным: Qm= rQ = const.
Умножив обе части равенства (6.13) на плотность флюида r(Р) и используя соотношение (6.12), имеем
, Qm =const. (6.14)
Легко видеть, что выражения (6.13) и (6.14) являются однотипными дифференциальными уравнениями, в которых объемному расходу Q несжимаемой жидкости соответствует массовый расход Qm сжимаемого флюида, а давлению в уравнении (6.13) соответствует функция Лейбензона в уравнении (6.14). Уравнения движения (6.2) для несжимаемой жидкости связывают скорость фильтрации V с давлением Р, а для сжимаемого флюида – массовую скорость фильтрации c функцией Лейбензона в уравнениях (6.6). Отсюда вывод (аналогия): все формулы, полученные для установившейся фильтрации несжимаемой жидкости по закону Дарси, можно использовать и для установившейся фильтрации сжимаемого флюида в пластах той же геометрии и при тех же граничных условиях, заменив соответствующие параметры:
При этом помним, что при фильтрации сжимаемого флюида под давлением Р понимается абсолютное давление.
Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток Идеального газа На основании уравнения состояния идеального газа (2.18) ,
при изотермическом процессе, находим функцию Лейбензона
.
. (6.18)
Используя аналогию между течением несжимаемой жидкости и течением газа найдем характеристики фильтрационного потока газа по аналогии с соответствующими характеристиками потока несжимаемой жидкости. 1) Распределение давления в прямолинейно-параллельном фильтрационном потоке (рис.8) несжимаемой жидкости
.
При фильтрации газа аналогичное соотношение справедливо для функции Лейбензона:
.
Используя выражение функции Лейбензона (6.18)
; ,
находим распределение давления Р(х) в прямолинейно-параллельном потоке идеального газа
, (6.19) т.е. давление по длине пласта Р(х) изменяется по параболическому закону (рис.36, кривая 1), а зависимость Р2(х) – прямолинейная. Рис. 36 2) Градиент давления в потоке несжимаемой жидкости имеет вид .
По аналогии градиент функции Лейбензона для потока газа будет
. (6.20)
Дифференцируя по Х выражение (6.18) и используя выражения и , из уравнения (6.20) получим распределение градиента давления в фильтрационном потоке газа
,
откуда , (6.21)
где Р – определяется по формуле (6.19). График распределения градиента давления в потоке газа представлен на рис. 36, кривая 2. Градиент давления возрастает при приближении к галереи.
3) Объемный расход несжимаемой жидкости в рассматриваемом одномерном потоке
. Заменяя объемный расход Q массовым расходом Qm и давление Р функцией Лейбензона , получим
. (6.22) Тогда объемный расход газа, приведенный к атмосферному давлению, выражается формулой
. (6.23) 4) Вместо скорости фильтрации для несжимаемой жидкости
. при фильтрации газа аналогично определяется массовая скорость фильтрации, т.е.
или , откуда
. (6.24)
График функции V(x) аналогичен графику . Возрастание V(x) происходит за счет расширения газа при снижении давления.
5) Средневзвешенное по объему порового пространства, занятого газом, пластовое давление
. В нашем случае ; dVп=Bhmdx. Тогда . После интегрирования получим
. (6.25)
VI. УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ОДНОРОДНОЙ СЖИМАЕМОЙ (УПРУГОЙ) ЖИДКОСТИ И ГАЗА
1. Дифференциальные уравнения установившейся фильтрации упругой жидкости и газа по закону Дарси Составим дифференциальное уравнение фильтрации однородного сжимаемого флюида в однородной пористой среде на основе уравнения неразрывности потока (2.11)
(6.1)
и уравнений движения (2.4)
, , , (6.2)
т.е. считаем фильтрацию сжимаемого флюида r=r(Р) по закону Дарси, процесс изотермический (Т=const), при этом вязкость флюида и проницаемость зависят от давления, т.е. m=m(Р) и k=k(Р). Введем обобщенную функцию давления следующим образом. Примем, что ее дифференциал
, (6.3) тогда (6.4.)
будем называть обобщенной функцией Лейбензона. Так как функция и давление Р зависят от координат и времени, то равенство (6.3) можно записать в следующем развернутом виде, используя понятие полного дифференциала функции от многих переменных:
.
Из сравнения коэффициентов при dx, dy, dz, dt получаем
; ; ;
. (6.5)
Запишем выражения для массовых скоростей фильтрации с использованием (6.5)
; ;
. (6.6)
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 308; Нарушение авторского права страницы