Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ЛЕКЦИЯ 10. 07.11.2018 Вычеты (продолжение).
В случае, когда в точке полюс, в знаменателе далеко не всегда степенная функция, содержащая , возможно, что там произвольная функция. Чтобы вычислять вычет и в этом случае, рассмотрим такой факт. Теорема 4. Если функция имеет вид , где имеет нуль 1 порядка в точке , а , то . Доказательство (ДОК 32). По предыдущей теореме, = , тогда = , но при этом , так что можно утверждать, что = = , а теперь в знаменателе как раз и есть производная от в точке . Итак, , что и требовалось доказать.
Пример. Найти . Решение. = = . Можно было решить и с помощью теоремы 4, = = = , но в этом случае надо было бы использовать 1-й замечательный предел. Выведем формулу для полюса порядка m. Теорема 5. Если - полюс порядка m, то верна формула вычисления вычета: = . Доказательство (ДОК 33). Как и теорему 3, можно доказать двумя методами: с помощью ряда и с помощью интегральной формулы Коши. Здесь остановимся на доказательстве только по интегральной формуле Коши. Запишем обобщённую формулу Коши для какой-нибудь функции , т.к. обозначение у нас уже использовано, оно будет применяться ко всей функции, которая в интеграле. . Но ведь мы можем сделать такую замену индекса: и переписать формулу в виде или эквивалентно: . Пусть . Тогда , а интегральная формула Коши запишется в виде: = . Правая часть этой формулы по определению как раз и равна вычету . Пример. Найти вычет . Решение. Здесь точка полюс порядка 3, конкретизируем формулу для этого порядка и этой точки: = . Итак, = = = = = = 1.
Пример. Найти вычет . Решение. Здесь точка полюс 1 порядка. Поэтому = = = . Пример. Найти вычет . Решение. Здесь точка полюс 2 порядка. Поэтому = = = = = . Пример. Найти вычет . Решение. Здесь точка полюс 3 порядка. Поэтому = = = = . Определение вычета в . Пусть замкнутый контур, на контуре и вне его нет особых точек. Тогда интеграл называется вычетом функции в и обозначается . Когда мы рассматривали конечную точку , то при вычислении интеграла по контуру обходили его против часовой стрелки, чтобы точка оставалась слева. А чтобы например, линия горизонта (бесконечность) оставалась с левой стороны при движении, нужно круг обходить наоборот, именно по часовой стрелке. Поэтому-то здесь изначально в определении знак минус. Важно заметить, что при этом равен , т.е. минус первому коэффициенту ряда Лорана при разложении в окрестности (то есть в области ) с противоположным знаком. Пример. Найти вычет . Решение. Вспомним разложение косинуса в ряд Тейлора: Здесь бесконечно-большая величина, а наоборот, бесконечно малая, так что переход получается корректный, ведь мы применяем формулу Тейлора как раз в окрестности нуля. = = Теперь выберем коэффициент при и изменим его знак, получится . Ответ. . Пример. Найти вычет . Решение. Вспомним разложение экспоненты в ряд Тейлора: Тогда = = = Коэффициент при равен , тогда ответ = . Подробнее рассмотрим строение ряда Лорана в окрестности . Если для полюс порядка m в точке , то крайняя отрицательная степень равна . Тогда для ряда Лорана по , крайняя положительная степень равна . То есть ряд вида . Если устранимая особая точка, то ряд имеет вид . Но в этом случае коэффициент может быть не равен 0. То есть, даже в случае, когда устранимая особая точка, то вычет может быть не равен 0. Теорема 6. Если устранимая особая точка, то вычет равен:
Доказательство (ДОК 34). Если устранимая особая точка, то ряд имеет вид: . Чтобы коэффициент оказался крайним и его можно было выразить, продифференцируем 1 раз, и константа исчезнет: . Теперь домножим на , получим . Если перейти к пределу при , то все слагаемые устремятся к 0, и останется лишь одна константа , которую мы как раз и хотели выразить. Коэффициент с отрицательным знаком в точности равен вычету, поэтому полчили то, что и требовалось доказать: = Теорема 7. Если является полюсом порядка m, то вычет равен:
Доказательство (ДОК 35). Если полюс порядка m, то ряд имеет вид: . Чтобы коэффициент оказался крайним и его можно было выразить, надо продифференцировать столько раз, чтобы исчезли все положительные степени. Так, после 1-го дифференцирования:
исчезла только константа . После 2-го исчезнет , а там где была степень m, только после - го дифференцирования.
Все положительные степени исчезнут после дифференцирования раз. Но более подробно обратим внимание, что при этом происходит с тем коэффициентом, где есть . Там каждый раз степень в знаменателе увеличивается, и домножается на следующее отрицательное число. После m шагов получилось бы где . На последнем шаге справа от исчезает уже всё полностью, и получается
где и далее - тоже числовые коэффициенты, состоящие из произведений целых отрицательных чисел. Если домножить на , то получатся все отрицательные степени , и лишь одна константа, как раз там, где есть . . Если теперь перейти к пределу при , то все слагаемые кроме последнего устремятся к 0. , итак, . Но для вычета нам надо выразить величину , поэтому запишем так: . Тогда . Впрочем, деление на эквивалентно умножению на , ведь это либо либо . Так что для удобства записи формулы, можно перенести в числитель: . Что и требовалось доказать. Замечание. При из формулы в теореме 7: получается формула из теоремы 6: . полюс порядка это и есть устранимая точка. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 230; Нарушение авторского права страницы