Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Опишите секулярные члены и их особенности
Секулярные члены Многие методы ТВ приводят к появлению в решении членов, пропорциональных времени . Такие члены называются секулярными членами. Если можно избежать такой ситуации, то скорость сходимости может быть улучшена, или в некоторых специальных случаях можно достичь сходимости для всех при достаточно малых . Рассмотрим появление секулярных членов на примере мат маятника. Пусть нач условия соответствуют малым колебаниям около устойчивого положения равновесия. ДУ движения запишем в виде: (1) где , – ускорение свободного падения, – длина нити маятника. Введем новую переменную (2) и разложим в ряд по степеням малого параметра . Тогда уравнение (1) . ( 3) При решение уравнения (3) можно записать так: . (4) Рассмотрим следующее разложение функции в ряд , тогда решение в окрестности опорного решения ищется в виде (5) Подставим ряд (5) в (3) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях . Определим первые несколько приближений: , , , (6) Найдем решение которое соответствует нач условиям , . Предположим, что (это вопрос выбора единицы времени). Из курса ДУ частное решение уравнения имеет вид при , при , а решение уравнения имеет вид при , при . , (7) где , . Из формулы (7) видно, что секулярные члены появились уже в первом приближении. Такие члены в литературе называют смешанными секулярными членами. 11) Напишите канонические уравнения системы двух притягивающих материальных точек
12) Найдите полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби для материальной точки массы , движущейся в однородном поле силы тяжести Метод Гамильтона-Якоби В своих научных исследованиях в оптике Гамильтон получил связь между общим решением системы канонических уравнений и полным интегралом уравнений в частных производных первого порядка, Якоби развил эту идею Гамильтона и получил метод интегрирования канонических систем уравнений Гамильтона, который заключался в том, что с помощью полного интеграла уравнения в частных производных первого порядка, называемого уравнением Гамильтона-Якоби, можно найти общее решение системы канонических уравнений. Этот метод интегрирования уравнений Гамильтона получил название метода Гамильтона-Якоби. В общем случае решение этих задач являются одинаково трудными, однако существуют такие проблемы в механике, для которых интегрирование системы канонических уравнений оказывается намного сложнее, чем нахождение полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби. Рассмотрим голономную механическую систему, движущуюся под действием потенциальных сил. Запишем уравнения движения этой системы в канонической форме: , ( ) (1) здесь – обобщенные координаты, – обобщенные импульсы, – известная функция Гамильтона. Теперь с помощью КП перейдем к интегрируемой системе, решение которой можно найти алгебраическим методом. Для этого перейдем с помощью унивалентного КП от старых канонических переменных , к новым каноническим переменным , : , , ( ), (2) здесь – производящая функция. Тогда система уравнений (1) примут следующий вид: , , ( ), (3) здесь – новая функция Гамильтона определяется по формуле . (4) Величины , в правой части (после вычисления частных произвводных) должны быть выражены с помощью соттношений (2) через , . Если, построить производящую функция так, чтобы новая функция Гамильтона была равна нулю ( , то система уравнений (3) сразу интегрируются: , , ( ), (5) здесь – произвольные константы. Если выполняется условие 0, (6) найдем зависимость старых переменных от времени и констант: , . (7) Приняв новую функцию Гамильтона равным нулю ( ) и учитывая (2) и (4), получим: . (8) Это уравнение в частных производных называют уравнением Гамильтона-Якоби. Здесь – функция переменных и , а величины рассматриваются как параметры. Полным интегралом уравнения в частных производных (2.1.8) называется его решение , зависящее от произвольных констант и удовлетворяющее условию 0. (9) Если функция явно не входит в уравнение в частных производных, то наряду с его решением существует решение (здесь – произвольная константа). Поэтому можно рассматривать полный интеграл уравнения в частных производных, в котором одна из постоянных является аддитивной. В уравнение Гамильтона-Якоби входят только производные функции , поэтому в его полном интеграле одна из постоянных является аддитивной, т.е полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби имеет вид (10) здесь – произвольная константа. Таким образом, найден метод интегрирования уравнений (1), основанный на нахождение полного интеграла уравнения в частных производных (8). Этот метод задается следующей теоремой. Теорема Гамильтона-Якоби. Если функция , зависящая от произвольных констант является полным интегралом уравнения Гамильтона-Якоби, то решение системы канонических уравнений (1) можно определиь из следующих соотношений , , ( ), (11) здесь – произвольные константы. Теорема Гамильтона-Якоби сводит интегрирование системы ДУ (1) к нахождению полного интеграла уравнения в частных производных (8). Общих методов построения точных решений для систем канонических уравнений произвольного вида и нахождения полного интеграла уравнения Гамильтона-Якоби нет. Рассмотрим некоторые случаи, характеризующиеся специальной структурой функции Гамильтона, когда возможно найти полный интеграл уравнения Гамильтона-Якоби. Можно выбрать новый гамильтониан таким образом, чтобы число степеней новой системы был меньше числа степеней старой системы и найти производящую функцию, т.е. речь идет о нахождении производящей функции преобразования, приводящей фунцию Гамильтона к следующему виду , , , Новая гамильтоновая система приводится к квадратуре. Также можно выбрать новую фунцию Гамильтона, явно не зависящую от времени. В обшем случае такой метод называют методом усреднения. Обычно метод усреднения часто применяют когда гамильтониан рассматриваемой системы является периодической или условно периодической функцией времени. Если функция Гамильтона зависит от малого параметра и раскладывается в ряд Тэйлора в окрестности нулевого значения малого параметра, то для решения задачи ищут производящую функцию в виде ряда Тэйлора. В обшем случае свойства сходимости таких рядов не известны. 21) Критерий каноничности преобразования, выраженный через скобки Лагранжа. Для того, чтобы преобразование , , было каноническим преобразованием необходимо и достаточно выполнение условий
, , , . (4)
Здесь – валентность преобразования, символ Кронекера ( , если и , если ). Доказательство. На основании опреления-критерия (3) имеем
.
Распишем левую часть этого тождества
. (5)
Вычислим верхний левый блок этой матрицы
.
Аналогично вычислим все блоки матрицы (5) и получим, что тождество (3) запишется в виде
. (6) Мы доказали эквивалентность соотношений (4) и (6). Таким образом, теорема доказана. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-18; Просмотров: 539; Нарушение авторского права страницы