Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ ВХОД-ВЫХОД ПО СИСТЕМЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Пусть дана система дифференциальных уравнений (2.17). Построение модели в терминах «вход-выход» означает исключение внутренних переменных, что проще выполнить, если от дифференциальных уравнений перейти к системе алгебраических уравнений для изображений, приняв нулевые начальные условия:
Последовательное исключение переменных При небольшом числе уравнений применяют метод последовательных исключений. Пусть, например, объект с одним входом/и одним выходом имеет две внутренние переменные x1 и x2:
Выразим вначале переменную Х1 через переменную Х2 в силу второго уравнения
Подставим это выражение в первое уравнение и найдем:
Теперь по выражению
легко получить полиномы числителя и знаменателя передаточной функции и записать выражение для одного дифференциального уравнения. Используемые операции — перемножение и вычитание полиномов.
Правило Крамера Правило Крамера (G. Cramer) удобно применять в случае, когда требуется вычислить передаточную функцию, связывающую одну из выходных переменных у = х с одним из воздействий:
где полиномиальная матрица Аqr получена из матрицы А заменой q-го столбца r-ым столбцом матрицы В. Знаменатель передаточной функции Wqr ( s ) независимо от номеров входа r и выхода q один и тот же — он равен характеристическому полиному системы
Этот способ построения моделей вход-выход по системе уравнений (2.20) сводится к вычислению определителей полиномиальных матриц. Для примера (2.21) запишем систему в матричной форме (2.20); матрицы имеют вид:
В соответствии с правилом Крамера определяем характеристический полином и числитель передаточной функции W 21 ( s ) (здесь r = 1, q = 2):
Матричный способ Пусть имеем систему алгебраических уравнений многомерной системы, записанную для изображений переменных (2.20). В общем случае передаточная матрица системы, т. е. модель вход-выход через полиномиальные матрицы выражается так:
Здесь вычисления связаны с обращением и перемножением полиномиальных матриц. Ясно, что полиномиальная матрица системы A(s) должна быть неособенной, а значит, ее определитель не равен тождественно нулю. Известно, что
где A*(s)— присоединенная матрица. Следовательно, выражение для; передаточной матрицы примет вид
Для примера одномерной системы (2.24) характеристический полином A ( s ) вычислен ранее. Матрица А*, присоединенная к А, выглядит так:
Числитель передаточной функции вычислим по формуле из (2.26):
В случае одномерной системы (К = Р) полиномиальную матрицу числителя передаточной матрицы можно также вычислять как определитель следующей блочной матрицы:
Действительно, если воспользоваться леммой Шура (I. Schur), то искомый определитель раскроется так:
Учтем, что
и после сокращения получим выражение для числителя
Составим блочную матрицу (2.27) для рассматриваемого примера и раскроем ее определитель:
Получим тот же результат.
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-03-22; Просмотров: 321; Нарушение авторского права страницы