Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Возрастание и убывание функций
Понятие производной — одно из важнейших в математике. С помощью производной, учитывая ее механический смысл (скорость изменения некоторого процесса) и геометрический смысл (угловой коэффициент касательной), можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных стало возможным подробное исследование функций, что позволило очень точно строить их графики, находить их наибольшие и наименьшие значения и т. д. Познакомимся с основными идеями, связанными с исследованием функций. Для этого рассмотрим график какой-нибудь функции (рис. 109). Интуитивно ясно, что в интервалах данная функция возрастает, а в интервале — убывает. 255 В дальнейшем будем рассматривать только дифференцируемые функции. Определение I. Функция называется возрастающей в некотором интервале, если в точках этого интервала большему значению аргумента соответствует бот шее значение функции, и убывающей, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Тогда в обоих случаях отношение приращения функции к при ращению аргумента положительно, т. е. .Далее, поскольку функция дифференцируема на рассматриваемом интервале, то, переходя к пределу при , получим , а это значит, что Рассуждая аналогично, можно показать, что в случае убывания функции ее производная отрицательна, т.е. Все вышеизложенное можно сформулировать как необходимый прорастания (убывания) функции. Геометрически утверждение теоремы означает, что касательные к графику возрастающей функции образуют острые углы о. с положительным направлением оси Ох или, быть может, в отдельных точках, вроде точки М (рис. 110), касательная парал- 256
Обратное заключение также справедливо, оно выражается следующей теоремой. 9-1356 257 537. Показать, что функция в интервале монотонно возрастают.
Мы установили, что интервалы возрастания или убывания функции совпадают с интервалами, в которых производная этой функции сохраняет знак. Следовательно, переход от возрастания к убыванию или обратно возможен лишь в точках, где производная меняет знак. Такими точками могут служить только такие точки, в которых , а также точки разрыва. Поэтому интервалы монотонности мы получим, если разделим область определения функции на части, границами которых служат те точки, в которых , и точки разрыва. Сформулируем теперь правило нахождения интервалов монотонности следующих функции .
Замечание. 15. В зависимости от условий задачи правило нахождения интервалов монотонности может упрощаться. 543—563. Найти интервалы монотонности следующих функций: 258 9* 259 |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-09; Просмотров: 303; Нарушение авторского права страницы