Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ. ВЕРОЯТНОСТЬ СОБЫТИЯ
Событием называется любой факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. Достоверным называется событие , которое происходит в каждом опыте. Невозможным называется событие , которое в результате опыта произойти не может. Несовместными называются события, которые в одном опыте не могут произойти одновременно. Суммой (объединением) двух событий A и B (обозначается A+B, A B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходит хотя бы одно из событий, т.е. A или B, или оба одновременно. Произведением (пересечением) двух событий A и B (обозначается A B, A B) называется такое событие, которое заключается в том, что происходят оба события A и B вместе. Противоположным к событию A называется такое событие , которое заключается в том, что событие A не происходит. События A k (k=1, 2, ..., n) образуют полную группу, если они попарно несовместны и в сумме образуют достоверное событие. При преобразовании выражений можно пользоваться следующими тождествами:
. Классическое определение вероятности: вероятность события определяется по формуле , (1) где n - число всех элементарных равновозможных исходов данного опыта; m - число равновозможных исходов, благоприятствующих событию А.
Геометрическое определение вероятности. Пусть в некоторую
область случайным образом бросается точка T, причем все точки области равноправны в отношении попадания точки T. Тогда за вероятность попадания точки T в область A принимается отношение , (2) где S(A) и S() — геометрические меры (длина, площадь, объем и т.д.) областей A и соответственно.
Основные комбинаторные формулы Пусть имеется множество X = {x1, x2, .., x n}, состоящее из n различных элементов. (n, r) - выборкой называется множество, состоящее из r элементов, взятых из множества X. Упорядоченной называется выборка, для которой важен порядок следования элементов. Если каждый элемент множества X может извлекаться несколько раз, то выборка называется выборкой с повторениями. Число Pk всех перестановок из k различных элементов равно , (3) Число упорядоченных (n, r) - выборок (размещений) с повторениями и без повторений равно (4)
. (5) Число неупорядоченных (n, r) - выборок (сочетаний) с повторениями и без повторений равно , (6) . (7) Число различных разбиений множества из n элементов на k непересекающихся подмножеств, причем в 1-м подмножестве r1 элементов, во 2-м r2 элементов и т.д., а n = r1 + r2 +... + r k равно . (8) Пример 1.1. В партии транзисторов n стандартных и m бракованных. При контроле оказалось, что первые k транзисторов стандартны. Найти вероятность p того, что следующий транзистор будет стандартным. Решение. Всего осталось для проверки n+m-k транзисторов, из которых стандартных n-k. По формуле классического определения вероятности Пример 1.2. Среди кандидатов в студенческий совет факультета три первокурсника, пять второкурсников и семь студентов третьего курса. Из этого состава наугад выбирают пять человек. Найти вероятность того, что все первокурсники попадут в совет. Решение. Число способов выбрать пять человек из 3+5+7=15 равно числу сочетаний из 15 по 5 (неупорядоченная выборка без повторений): . Выбрать трех первокурсников из трех можно одним способом. Оставшихся двух членов совета можно выбрать способами: . Искомая вероятность p =66/3003=2/91. Пример 1.3. Банковский сейф имеет кодовый замок, состоящий из шести дисков с восьмью буквами на каждом. Сейф открывается при наборе единственной комбинации букв. Злоумышленник пытается открыть сейф, причем на проверку одной кодовой комбинации у него уходит 10 секунд. Какова вероятность того, что злоумышленник успеет открыть сейф, если в его распоряжении 1 час? Решение. Обозначим искомую вероятность через P(A). По формуле (1) она будет равна m/n . Здесь n - общее число исходов, равное числу кодовых комбинаций замка. Оно определяется по формуле (3) и равно 86. m - число благоприятствующих исходов, в данном случае равное числу комбинаций, которые успеет испробовать злоумышленник за 1 час, т.е. 360. Таким образом, искомая вероятность будет равна . |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 622; Нарушение авторского права страницы