Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Производная по направлению.
Для описания свойств скалярного поля вводится производная скалярного поля в точке Р по произвольному направлению. Пусть задана дифференцируемая функция скалярного поля . Рассмотрим точку этого поля и луч, выходящий из точки Р в направлении вектора . Пусть - какая-нибудь другая точка этого луча. Разность значений функции u скалярного поля в точках и Р назовем приращением этой функции в направлении и обозначим . . Обозначим через расстояние между точками Р и : . Определение. Производной функции в точке Р по направлению называется предел , эта производная обозначается , т.е. (4.27) Если производная функции u в точке по направлению положительна, то функция u в этом направлении возрастает; если же , то функция u в направлении убывает. Производная по направлению дает скорость изменения функции u в этом направлении. Выведем формулу для вычисления производной по направлению. Приращения , и координат точки Р связаны с длиной отрезка и направляющими косинусами , , вектора соотношениями (рис. 4.9.) ; ; . (4.28) Так как функция u по условию дифференцируема, то ее приращение в точке можно представить в виде (формула (4.15)): , (4.29) причем стремится к нулю быстрее, чем , т.е. . Рис. 4.9. Если рассматривать приращение функции вдоль луча в направлении вектора , то , , а , и выражаются по формулам (4.28). Тогда равенство (4.29) примет вид . Разделим обе части этого равенства на и перейдем к пределу при : . Но , , и направляющие косинусы , , не зависят от , и так как , то получаем окончательную формулу (4.30) Из формулы (4.30) следует, что если вектор совпадает с направлением одной из координатных осей, то производная u по направлению совпадает с соответствующей частной производной этой функции. Например, если сонаправлен с осью Ox, то , , и, следовательно, . Пример 4.23. Найти производную функции в точке в направлении вектора . Установить характер изменения функции в этой точке. Решение. Найдем направляющие косинусы вектора . Если вектор имеет координаты , , , то направляющие косинусы этого вектора находятся по формулам ; ; . (4.31) В нашем случае , тогда , , . Найдем частные производные функции и вычислим их значения в точке , , . Тогда производная по направлению может быть вычислена по формуле (4.30): . Поскольку , то функция в данном направлении возрастает. Если скалярное поле – плоское, то функция поля зависит от двух переменных: . Вектор в этом случае лежит в плоскости Oxy (т.е. ) и формула (4.30) в этом случае имеет вид: Но, из рис. 4.10 видно, что . Получаем окончательно: . (4.32) Рис. 4.10. Пример 4.24. Найти производную функции в точке по направлению вектора , если точка имеет координаты (–2;6). Установить характер изменения функции в этом направлении. Решение. Сначала найдем направляющие косинусы вектора : , , , . Найдем частные производные функции z в точке ; Производную по направлению вычислим по формуле (4.32) . Поскольку , то функция в данном направлении убывает. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-10; Просмотров: 302; Нарушение авторского права страницы