Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Решение иррациональных уравнений и неравенствСтр 1 из 3Следующая ⇒
Решение иррациональных уравнений и неравенств методические рекомендации для учащихся
Составитель Преподаватель математики Мочалова Е.В. Составители: Мочалова Е.В. – преподаватель математики
От авторов-составителей: Одной из нелегких и трудно усваиваемых тем на уроках математики являются иррациональные уравнения и неравенства. В работе рассмотрены основные понятия и формулы, которые нужно знать для успешного решения иррациональных уравнений и неравенств. Приведены подробные примеры решения некоторых уравнений и неравенств. Подобраны задания для самостоятельного решения и тест для проверки усвоения теоретических основ. Методические рекомендации призваны помочь при самостоятельном изучении и повторении данной темы. Причина появления посторонних корней. Решение иррациональных уравнений основано на следующем утверждении: Теорема. Если n>0 - нечетное число (n=2k+1), то уравнения fn ( x )= gn ( x ) и f ( x )= g ( x ) равносильны. Если n>0 - четное число (n=2k), то любой корень уравнения fn ( x )= gn ( x ) удовлетворяет хотя бы одному из уравнений: f ( x )= g ( x ) и f ( x )=- g ( x ). Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе части в степень с четным показателем, то могут появиться "посторонние" корни уравнения. Итак, что же происходит, каковы причины посторонних корней: а) за счет возможного расширения ОДЗ исходного уравнения (т.е. ОДЗ полученного уравнения шире ОДЗ исходного уравнения). б) за счет возведения в четную степень его левой и правой частей, которые равны по абсолютной величине, но одна из них положительна, а другая отрицательна.
Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием. Решение иррациональных уравнений путем замены уравнения его следствием (с последующей проверкой корней) можно производить следующим образом: 1. Найти ОДЗ исходного уравнения. 2. Перейти от уравнения к его следствию. 3. Найти корни полученного уравнения. 4. Проверить, являются ли найденные корни корнями исходного уравнения.
Проверка корней. Проверка корней подстановкой найденного значения в исходное уравнение сама по себе может оказать сложной задачей. Однако, чтобы отделить посторонние корни, не всегда необходимо подставлять найденные корни в данное уравнение. Иногда возможна проверка корней по ОДЗ уравнения. При решении иррациональных уравнений удобно и полезно следующие утверждения:
Равносильно | Системе / совокупности систем уравнений | ||||
Одной из равносильных систем: или Выбирается та система, в которой проще неравенство. | |||||
Пример 3.
<=>
Ответ: 3.
b) <=> <=> <=> <=> x=2. Ответ: 2
Пример 5.
a )
Пусть тогда исходное уравнение примет вид: корни которого y=6 и . Решая уравнение , получаем x=3 и x=-4,5.
Ответ:
В следующих примерах используется более сложная замена переменной.
b )
Перенесем в левую часть все члены уравнения и произведем дополнительные преобразования:
Замена приводит уравнение к виду корнями которого являются y=1 и y=-2
Осталось решить совокупность двух уравнений:
<=> <=> <=> x=0
Ответ: {0}
Пример 6 .
При уравнение принимает вид: которое равносильно совокупности двух уравнений:
Ответ:
Выделить общий множитель часто бывает очень трудно. Иногда это удается сделать после дополнительных преобразований. В приведенном ниже примере для этого рассматриваются попарные разности подкоренных выражений.
Пример 7 .
Если внимательно посмотреть на уравнение, то можно увидеть, что разности подкоренных выражений первого и третьего , а также второго и четвертого членов этого уравнения равны одной и той же величине
В таком случае далее следует воспользоваться тождеством:
Уравнение примет вид:
или
Корень уравнения 2x+4=0 т.е. число x=-2 при подстановке в исходное уравнение дает верное равенство.
Уравнение не имеет решений, так как его левая часть положительна в своей области определения.
Ответ: {-2}.
Пример 8 .
Преобразуем уравнение следующим образом:
или
Обозначим и решим полученное уравнение методом интервалов.
Разбирая отдельно случаи , находим, что решениями последнего уравнения являются .
Возвращаясь к переменной , получаем неравенства
Ответ:
Пример 9.
a) Решить неравенство:
Это неравенство второго типа, оно равносильно совокупности двух систем:
Решим каждое неравенство:
1. <=>
D=1-8=-7, старший коэффициент больше нуля, следовательно это неравенство верно при любом значении х. Решением первой системы будет решение ее второго неравенства: x≥2.
2. Очевидно, что это неравенство не имеет решений. Следовательно, и вся вторая система не имеет решений.
Ответ: x≥2.
b ) Решить неравенство:
Это иррациональное неравенство первого типа, и оно равносильно системе трех неравенств:
Решим каждое неравенство:
1. <=>
2. <=> <=>
D=144-200<0, следовательно, это неравенство верно при любом значении х.
3.
Совместим решения первого и третьего неравенств системы на одной координатной прямой:
Ответ: 0≤ x ≤ 2.
c )
Решение.
Таким образом необходимо рассмотреть два квадратных и одно линейное неравенство. Их решение не представляет никаких сложностей.
Объединением этих неравенств будет {-2} [1/3, 1.5].
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Укажите решение уравнения
а) 9
б) 12
в) 8
г) 3
2. Иррациональным называется уравнение, где переменная находится:
а) В знаменателе дроби
б) В степени числа
в) Под знаком модуля
г) Под знаком корня
3. Укажите решение уравнения
а) 4
б) -4
в) -4; 4
г) 9
4. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня положительно?
а) Четной
б) Нечетной
в) Четной и нечетной
г) Все существуют
5. Корни какой степени не существуют, если выражение, стоящее под знаком корня отрицательно?
а) Четной
б) Нечетной
в) Четной и нечетной
г) Все существуют
6. Укажите решение неравенства .
а) x
б) x<-3
в) x
г) x>-3
7. Укажите решение неравенства .
а) x
б) x<-1/2
в) x
г) -2<x<-1/2
Задачи для самостоятельного решения.
1. Укажите, какому промежутку принадлежит сумма корней уравнения (или корень, если он один):
2. Укажите количество корней уравнения.
3. Решите неравенства:
Литература
1. Алгебра и начала математического анализа: учеб. для 10-11кл. общеобразоват. учреждений / [А.Н.Колмогоров, А.М.Абрамов, Ю.П.Дудницын и др.]: под ред. А.Н.Колмогорова.- М.: Просвещение, 2008
2. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - М.: Мнемозина, 2009
3. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г.Мордкович, П.В.Семенов. - М.: Мнемозина, 2009
4. Алгебра и начала анализа: сборник задач для подготовки и проведения итоговой аттестации за курс средней школы / И.Р.Высоцкий, Л.И.Звавич, Б.П.Пигарев и др.;под ред. С.А. Шестакова. - М.: Внешсигма-М, 2007
5. ЕГЭ. Математика. Показательные и логарифмические выражения, функции, уравнения и неравенства / Е.А.Семенко, М.В.Фоменко; под ред. Е.А.Семенко. - М.: Издательство "Экзамен", 2012
6. Математика. Подготовка к ЕГЭ-2011: учебно-методическое пособие / под ред. Ф.Ф.Лысенко, С.Ю.Кулабухова. - Ростов-наДону: Легион, 2010.
Ключ к тесту
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
б | г | в | г | а | в | б |
Решение иррациональных уравнений и неравенств
методические рекомендации для учащихся
Составитель
Преподаватель математики
Мочалова Е.В.
Составители: Мочалова Е.В. – преподаватель математики
От авторов-составителей: Одной из нелегких и трудно усваиваемых тем на уроках математики являются иррациональные уравнения и неравенства. В работе рассмотрены основные понятия и формулы, которые нужно знать для успешного решения иррациональных уравнений и неравенств. Приведены подробные примеры решения некоторых уравнений и неравенств. Подобраны задания для самостоятельного решения и тест для проверки усвоения теоретических основ. Методические рекомендации призваны помочь при самостоятельном изучении и повторении данной темы.
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 197; Нарушение авторского права страницы