Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Остаток долга по заданной таблице
Задача 1 В июле 2018 года планируется взять кредит в банке на 4 года в размере S млн рублей, где S — целое число. Условия его возврата таковы: - каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года; - с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга; - в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:
При каком наибольшем S общая сумма выплат будет меньше 50 млн рублей?
Решение
Найдем общую сумму выплат и сравним ее с 50 млн. руб. (1,15*S - 0,8S) + (1,15*0,8S - 0,5S) + (1,15*0,5S - 0,1S) + (1,15*0,1S) < 50 1,36S < 50 S < 36,76 Так как по условию задачи S – целое число, то выбираем ближайшее. Ответ: 36
Задача 2 15 января планируется взять кредит в банке на 6 месяцев в размере 1 млн руб. Условия его возврата таковы: − 1-го числа месяца долг увеличивается на r % по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число. − Со 2-го по 14-е число необходимо выплатить часть долга. − 15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:
Найдите наибольшее r, при котором сумма выплат будет меньше 1,2 млн руб. Решение Переведем r из процентов в десятичную дробь: r/100. Тогда долг на начало февраля будет считаться как (1 +r/100)*1млн. = (1 +r/100), долг на начало марта (1 +r/100)*0,6 млн = 0,6*(1+r/100) и т.д. После чего, как обычно, заполним графу ВЫПЛАТА = ДОЛГ - ОСТАТОК
Осталось сложить все суммы выплат и сравнить с 1,2 млн. (1 +r/100) - 0,6 + 0,6*(1+ r /100) - 0,4 + 0,4*(1+ r /100) - 0,3 + 0,3*(1+ r /100) - 0,2 + 0,2*(1+ r /100) - 0,1 + 01*(1+ r /100) < 1,2 Сгруппируем отдельно подчеркнутые и неподчеркнутые слагаемые. (1+r/100)*(1 + 0,6 + 0,4 + 0,3 + 0,2 +0,1) - (0,6+0,4+0,3+0,2+0,1) < 1,2 (1+r/100) < (1,2 + 1,6)/2,6 r/100 < 0, 077 r < 7,7 По условию задачи r – целое число. Следовательно, r=7. Ответ: 7
Задачи для самостоятельной работы
Вклады Сравнение выгоды
В задачах этого типа нужно представить себе весь процесс, «вжиться» в ситуацию и понять на каком этапе один вариант начинает перевешивать другой.
Задача 1 В начале 2018 года Юрий приобрел ценную бумагу стоимостью 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги увеличивается на 3000 рублей. В начале любого года Юрий может продать бумагу и сразу положить вырученные деньги на банковский счет. В этом случае каждый год сумма на счете будет расти на 10 %. Через сколько лет Юрий должен продать ценную бумагу, чтобы через 5 лет после ее покупки сумма на его банковском счете была наибольшей?
Решение У Юрия альтернатива: либо получать ежегодно по 3000 руб., либо попытаться превысить это доход за счет процентов, начисляемых банком. Может оказаться, что в определенный момент проценты на вклад будут больше дохода в 3000 руб., но возможен и вариант, что стабильный доход в 3000 руб. будет выгоднее в течение указанного в условии промежутка времени. Пусть через N лет после покупки ценной бумаги Юрий решается ее продать. К тому времени стоимость бумаги будет составлять 19000 + N*3000 руб. Сколько Юрий заработает на процентах на следующий год? 0,1*(19000 +N*3000). Вот эту величину и нужно сравнить с 3000 руб., которые Юрий рискнул потерять. 0,1*(19000 + N*3000) > 3000 N > (30000 – 19000)/3000 N > 3,3 Так как N – целое число, то Юрию будет достаточно 4 года. Ответ: 4
Задача 2 Компания «Омега» работает с двумя банками под разные проценты годовых. В начале года она положила 60% прибыли в банк «Альфа», а оставшуюся часть - в банк «Бета». К концу 1 года сумма этих вкладов достигла 590 тыс. руб., а к концу 2-го года - 701 тыс. руб. Если бы компания первоначально положила 60% своей прибыли в банк «Бета», а оставшуюся часть в банк «Альфа», то по окончании 1-го года сумма вкладов стала бы равной 610 тыс. руб. Какова была бы сумма вкладов в этом случае к концу 2-го года?
Решение Пусть S – сумма прибыли, которой распоряжается компания. Тогда в банк «Альфа» она положила 0,6S, а в банк «Бета» - 0,4S. Во втором случае деньги бы распределились 0,4S и 0,6S соответственно. Пусть x – проценты банка «Альфа», а y – проценты банка «Бета».
(1) 0,6*Sx + 0,4*Sy = 590 (2) 0,6*Sx2 + 0,4*Sy2 = 701 (3) 0,4*Sx + 0,6*Sy = 610 Получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными. Следовательно, система решаема. Как именно решать – дело вкуса, приведу вариант, который мне кажется менее трудозатратным.
Алгоритм: 1. Складываем (1) и (3): Sx + Sy = 1200 2. Выражаем Sx через Sy: Sx = 1200 – Sy и подставляем в (1): 0,6*(1200 - Sy) + 0,4Sy = 590 3. Находим Sy = 650. Соответственно, Sx = 1200 – 650 =550 4. (2) представляем в виде 0,6*x*Sx + 0,4*y*Sy = 701 и подставляем найденные Sx и Sy. В итоге получим y = 13x/11 5. Теперь y, Sx и Sy ставим в (1). Получаем 0,6*550*x +0,4*650*y = 701. Находим x=1,1, y=1,3 Интересующая нас сумма вкладов к концу 2 года при альтернативном выборе 0,4Sx2 + 0,6Sy2. Подставив все найденные значения, получим 749 (тыс. руб.). Ответ: 749000
Задачи для самостоятельной работы
Изменяющиеся проценты
Задача 1 В январе 2016 года предприниматель положил в банк некоторую сумму под х% годовых. Через год, в январе 2017 года, он снял 1/5 положенных денег, а оставшиеся деньги оставил в банке под у%. Известно, что (х+у)=30%. Каков должен быть х, чтобы в январе 2018 года сумма на счету предпринимателя была максимальной?
Решение Рассмотрим, что происходит с суммой вклада S: · 1 января 2017 года банк начислил х% за год хранения и сумма на вкладе стала S*(1 + x/100) · Предприниматель снял 1/5 первоначальных денег, то есть осталось: S*(1 + x/100) – 1/5S · 1 января 2018 года банк начислил у% за год хранения: (S*(1 + x/100) -1/5S)*( 1 + у/100) Подставим у=30-х и после упрощения получим: S*(4/5 + х/100)*(130-х)/100 = S*(80+х)(130-х)/50000 Данное выражение является квадратной функцией от переменной х. Возьмем производную, приравняем ее к нулю и найдем точку максимума: -2х+50=0 => X=25
Ответ: 25% Задачи для самостоятельной работы
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-20; Просмотров: 500; Нарушение авторского права страницы