Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Свойства функций, заданных в евклидовом пространстве.
Многие понятия, определенные для функции одной переменной, почти без изменения переносятся на функции нескольких переменных, заданных в евклидовом пространстве. Так, функция одной переменной может быть четной, нечетной, возрастающей, убывающей, ограниченной и т.д. Как выглядят эти понятия для функции нескольких переменных? Прежде чем дать определение возрастающей (убывающей) функции на множестве Еп, должно быть определено отношение порядка: Х1 < Х2 понимается как строгое неравенство для всех компонент векторов: x11< x12, x21< x22, . . . , xn1< xn2. Тогда определение возрастающей (убывающей) функции нескольких переменных полностью аналогично соответствующему определению для функции одной переменной: Определение. Функция y( X) называется возрастающей (убывающей) на множестве D Ì Еп, если "Х1, Х2 Î D, таких что Х1 < Х2 следует, что y( X1) < y( X2) ( y( X1)> y( X2)); функция y( X) называется неубывающей (не возрастающей) на множестве D Ì Еп, если "Х1, Х2 Î D, таких что Х1 £ Х2 следует, что y( X1) £ y( X2) ( y( X1) ³ y( X2)). Определение. Функция f( X), область определения которой ( D( f)) симметрична относительно нуля называется четной (нечетной), если f(- X) = f( X) ( f(- X) = - f( X)) для любого X Î D( f). Определение. Функция f( X) называется ограниченной сверху (снизу) на множестве D, если существует такое число m, что f( X) £ m ( f( X) ³ m) " X Î D. Определение. Функция f( X), ограниченная и сверху и снизу на множестве D называется ограниченной на этом множестве, если m1 £ f( X) £ m2, " X Î D (m1, m2 – некоторые числа). Определение. Функция f( X) называется выпуклой (вогнутой ) на выпуклом множестве D, если "Х1, Х2 Î D и любого числа 0 £ l £ 1 верно, что f( l X1 + (1- l) X2) £ l f( X1) + (1- l) f( X2) ( f( l X1 + (1- l) X2) ³ l f( X1) + (1- l) f( X2)) . Замечание. Из функции нескольких переменных можно получить несколько функций одной переменной: пусть функция y = f( x1, x2, . . . , xn) – функция n переменных. Зафиксируем значения переменных x2 = x20, x3 = x30, . . . , xn = xn0, а х1 – пусть изменяется. Тогда получим функцию одной переменной: y1 = f( x1, x20, x30, . . . , xn0) = y1( x1). Аналогично можно получить функцию y2( x2), зафиксировав значения переменных х1, х3, . . . ,х n, и т.п. Значит, выражение «функция y = f( x1, x2, . . . , xn) возрастает по х1» означает, что возрастает функция y1( x1) при x2 = x20, x3 = x30, . . . , xn = xn0. Графическое изображение функции более чем двух переменных невозможно. В случае же если функция f – функция двух переменных x и y, а значения ее z, то z = f( x, y) и график этой функции – поверхность в пространстве R3, состоящая из точек ( x, y, z), где ( x, y) Î D( f) (D( f) – область определения функции). Например. 1) z = x2 + y2 – параболоид. Область определения D( z) – множество всех точек плоскости OXY. Область значений E( z): [0; + ¥). Z
Y О
X 2) - эллиптический конус. Область определения D( z) – множество всех точек плоскости OXY. Область значений E( z): (-¥; + ¥). Z
O Y
X
3) x2 + y2 + z2 = R2 – сфера с центром в точке О(0;0;0) и радиуса R. Z
O Y
X 4) - эллипсоид с центром в точке О(0;0;0). Z Y O O
X
Для образного представления функции многих переменных используются линии заданного уровня. Определение. Линией уровня функции двух переменных z = f( x, y) называется плоская кривая, получаемая при пересечении графика этой функции с плоскостью, параллельной плоскости OXY: z = C, где C = const. Из определения следует, что линия уровня – это линия, в каждой точке которой значение функции не изменяется ( = С ). Обычно линии уровня, соответствующие различным значениям С, проецируются на плоскость OXY, тогда с их помощью можно исследовать характер поверхности, описываемой функцией z = f( x, y). Т.о. линии уровня функции z = f( x, y) – это семейство кривых на координатной плоскости OXY, описываемые уравнениями вида f( x, y)= С.
Аналогично вводится понятие поверхности уровня для функции n переменных: Пусть y = f( x1, x2, . . . , xn) – функция n переменных и С – какое-либо число, тогда f( x1, x2, . . . , xn) = С – уравнение поверхности уровня С. В частности, если n = 3: u = f( x, y, z) – функция 3-х переменных, то уравнение поверхности этой функции уровня C: f( x, y, z)=С – это уравнение поверхности в 3-ех мерном пространстве
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 192; Нарушение авторского права страницы