Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Приклади характерних задач з розв’язанням
У задачах цього розділу пропонується самостійно зобразити цикли у відповідних координатах.
Задача 1. Визначити ККД циклу Отто, що складається з двох адіабат і двох ізохор. Відомий ступінь стиснення e газу, який можна вважати ідеальним. Розв’язання. На ділянках кожної з адіабат тому розглянемо кількості теплоти і відповідно в процесі ізохорного охолодження від температури до і ізохорного нагрівання від до . З першого начала з урахуванням маємо (1) Аналогічно (2) Оскільки і , визначаємо, що і Отже, з (1) і (2) знаходимо (3) Використовуючи рівняння адіабати ідеального газу, пов’яжемо стани на адіабатичних ділянках і відповідно: (4) (5) Перемноживши (4) і (5), отримаємо: або (6) Запишемо тепер результат (3) у вигляді (7) звідки, використовуючи (6), знайдемо (8) Оскільки за умовою e , рівність (5) можна записати як e 1- g . (9) Підставляючи (9) у (8), остаточно отримуємо: e 1- g .
Задача 2. Визначити ККД циклу Ленуара, що складається з трьох процесів: ізобарного, ізохорного і процесу адіабатичного охолодження. Робочою речовиною є ідеальний газ. Відомою величиною вважати ступінь підвищення тиску. Розв ’ язання. На ділянці адіабати маємо . Позначимо через кількість теплоти в процесі ізобарного стиснення при тиску від об’єму до . З першого начала запишемо: (1) де і – температури кінцевого і початкового станів відповідно. Для одного моля газу з термічного рівняння стану знаходимо: (2) звідки, підставляючи і в (1), з урахуванням отримуємо: (3) де Нехай кількість теплоти на ділянці ізохори при збільшенні тиску від до . Оскільки , маємо (4) тут аналогічно (2): і (4) набирає вигляду (5) Маючи на увазі, що за умовою і крім того для з (5) знаходимо (6) Оскільки і , маємо: Отже, використовуючи (3) і (6), отримуємо (7) На підставі рівняння адіабати для ідеального газу пов’яжемо стани і :
звідки . (8) Підставляючи (8) у (7), остаточно знаходимо . (9)
Задача 3. Визначити ККД теплової машини з ідеальним газом, що працює за циклом Стірлінга, який складається з двох ізохор і двох ізотерм Відомими вважати ступінь стиснення і ступінь підвищення температури. Розв ’ язання. Нехай T2 > T1 і V2 > V1; тоді за умовою (1) Для одного моля газу на ділянці ізотерми з урахуванням маємо . (2) На ділянці ізохори запишемо: . (3) Аналогічно на ізотермі : , (4) і на ізохорі : (5) Оскільки маємо і . Отже, з (2) - (4) отримуємо: (6) З урахуванням і (1) остаточно знаходимо
Задача 4. Знайти ККД циклу чотирьохтактного двигуна Дизеля, що складається з таких процесів: 1) адіабатне стиснення від об’єму до , 2) ізобарне розширення від об’єму до , 3) адіабатне розширення від об’єму до , 4) ізохорне охолодження до початкового тиску. Вважати відомими ступінь стиску і ступінь попереднього розширення. Прийняти також, що робоча суміш є ідеальним газом. Розв ’ язання. На обох ділянках адіабат маємо . Нехай кількість теплоти на ділянці ізобарного розширення із зміною температури від до , а на ділянці ізохорного охолодження зі стану в стан . Тоді в позначеннях умови задачі з першого начала запишемо: (1) З термічного рівняння стану для одного моля ідеального газу маємо: (2) Підставляючи (2) в (1), з урахуванням отримаємо: (3) де . Для кількості теплоти (на цій ділянці ) знаходимо: , (4) і після використання рівняння Менделєєва-Клапейрона: (5) Через те, що і , маємо: і . Тоді з (3) і (5) отримуємо: (6) З урахуванням даних умови результат (6) можна переписати у вигляді (7) Пов’язуючи крайні точки адіабат циклу рівнянням , отримаємо: (8) Підставляючи (8) в (7), остаточно знайдемо
Задача 5. Знайти ККД циклу, що складається з двох адіабатичних і двох ізобаричних процесів, якщо відомий ступінь підвищення тиску при адіабатичному стисненні. Робочою речовиною є ідеальний газ. Розв ’ язання. Аналіз даного кругового процесу дозволяє зробити висновок, що система отримує тепло на ділянці ізобаричного (при ) розширення від об’єму, скажімо, до . Отже, відповідну кількість теплоти можна записати у вигляді , (1) де і – температури в станах відповідно і . Кількість теплоти , відданої системою на ділянці ізобаричного (при ) стиснення від об’єму до , знайдемо аналогічно: , (2) де і – температури в станах відповідно і . Використовуючи (1), (2), і з урахуванням термічного рівняння стану для шуканого ККД запишемо (3) Параметри у вершинах циклу можна пов’язати рівняннями адіабат: (4) де . Перемножуючи рівності (4), знайдемо: . (5) Оскільки за умовою , за допомогою співвідношення (5) для виразу (3) отримаємо: (6) Використовуючи першу з рівностей (4), запишемо (7) звідки остаточно знайдемо
Задача 6. Визначити ККД “усіченого” циклу Карно, який складається з ізотерми, адіабати і процесу, в якому абсолютна температура лінійно зменшується в разів із зростанням ентропії. Розв’язання. Знайдемо кількості теплоти і відповідно на ізотермічній ділянці циклу і на ділянці, де абсолютна температура лінійно зменшується від до із зростанням ентропії. Позначимо граничні значення ентропії через і . Тоді на підставі (3.4) запишемо (1) Оскільки на цій ділянці циклу маємо тобто на ізотермі робоче тіло віддає тепло. Для вирахування запишемо рівняння для лінії, що проходить через точки і : (2) Тоді (3) Оскільки , то на цій ділянці циклу робоче тіло поглинає тепло. Звідси маємо: і Отже, для шуканого значення ККД запишемо:
Підставляючи сюди (1) і (3), з урахуванням остаточно знайдемо
Задача 7. Визначити ККД циклу з ідеальним газом, який складається з ізохори, ізобари і процесу, в якому тиск змінюється за законом , а температура зменшується у разів. Розв ’ язання. Позначимо максимальну температуру в циклі через Т1, а відповідні значення тиску і об’єму через Р2 і V2. Позначимо також через Р1 і V1 тиск і об’єм в стані з мінімальною температурою Т2 циклу, а через Т3 - температуру в стані з тиском Р2 і об’ємом V1. Кількість теплоти Q12 в процесі стиску газу за законом P = aV від об’єму V2 до V1 запишемо з першого начала: . (1) Для одного моля з термічного рівняння стану знайдемо: , звідки . (2) З урахуванням (2) перепишемо (1) у вигляді . (3) На ділянці ізохори (dV= 0) аналогічно маємо . (4) Для ізобаричного процесу знаходимо: . (5) Відзначимо, що Q12 < 0, Q23 > 0, Q31 > 0. Отже, Q2 = , Q1 = Q23 + Q31. Додаючи (4) і (5), запишемо . (6) З рівняння Менделєєва-Клапейрона з урахуванням зв’язку P = aV і співвідношення (2) знайдемо проміжну температуру Т3: . (7) Підставляючи (7) у (6), для ККД даного циклу з (3) і (6) отримуємо:
або після алгебраїчних перетворень (беручи до уваги, що R = CP - CV, ): . (8) Оскільки за умовою , шуканий ККД остаточно набирає вигляду: .
Задача 8. Визначити ККД циклу з ідеальним газом, який складається з двох ізобар і двох ізохор. Відоме відношення w максимальної до мінімальної температури в циклі, і що дві вершини циклу належать одній ізотермі. Розв ’ язання. Робота W, яку виконує система за цикл, може бути записана у вигляді . (1) Оскільки в координатах P,V даний цикл має форму прямокутника, а геометричний зміст інтегралу в (1) є площа циклу в цих координатах, знайдемо: , (2) де P2, P1 і V2, V1 - граничні значення координат, які обмежують ділянки ізохор та ізобар циклу. На двох з чотирьох ділянок циклу кількість теплоти буде додатним. Це відрізки ізохорного (при V = V1) збільшення тиску від Р1 до Р2 та ізобарного (при Р = Р2) розширення від V1 до V2. Отже, кількість теплоти Q1, яку отримала система за цикл, після інтегрування dQ за цими ділянками дорівнюватиме , (3) де Т2 - температура в стані (P2, V1), Т3 - в стані (P2 , V2), Т1 - в стані (P1, V1). З (3) і (2) запишемо ККД циклу: . (4) Позначивши температуру стану (P1, V2) через Т4, пов’яжемо рівнянням Менделєєва-Клапейрона (для 1 моля) “вершинні” стани циклу: P2V1 = RT2, P1V2 = RT4, P2V2 = RT3, P1V1 = RT1 . (5) Перемноживши перше і друге, а потім третє й четверте з рівностей (5), і порівнюючи результати, одержимо Т1Т3 = Т2Т4 . (6) З умови задачі видно, що Т1 - мінімальна температура циклу, Т3 - максимальна, а Т2 = Т4. Отже, з (6) маємо: . (7) Розкриваючи дужки в чисельнику формули (4) та використовуючи рівності (5) і (7), знайдемо . (8) Маючи на увазі, що для одного моля R = CP - CV, а також те, що згідно з умовою задачі , після простих алгебраїчних перетворень приводимо результат (8) до кінцевого вигляду .
Задача 9. Цикл складається з ізобари, ізохори і процесу, в якому тиск лінійно зменшується з підвищенням у e разів об’єму ідеального газу. Знайти умову, за якою система на останній ділянці циклу тільки віддає тепло, та визначити для цього випадку ККД циклу. Розв’язання. Віддача системою теплоти (DQ < 0) на діагональній ділянці циклу відповідає зменшенню ентропії (dS < 0) на всій цій ділянці. Отже, адіабати з сім’ї адіабат ідеального газу можуть перетинати цю ділянку лише в одній точці кожна, а їхній нахил в точках перетину повинен бути менший за нахил самої діагональної ділянки. Саме ця умова забезпечує зменшення ентропії, а тому й віддачу теплоти на даному відрізку циклу. Математично її можна записати у вигляді , (1) де P1, V1 - мінімальні тиск і об’єм у циклі, P2, V2 - максимальні, - коефіцієнт нахилу діагональної ділянки циклу. Ліва частина нерівності (1) виражає похідну в точці (V1, P2) від тієї адіабати, яка проходить через цю вершину циклу. Оскільки для адіабати , з (1) знаходимо:
або . (2) Далі позначимо . Оскільки за умовою , нерівність (2) можна переписати як
або ; . (3) Нерівності (3) виражають для параметрів циклу d, e, g умови, за яких на всій діагональній ділянці циклу система тільки віддає тепло. Відзначимо, що лише на ізохорному відрізку (при збільшенні тиску від Р1 до Р2) система поглинає тепло. Отже, , (4) де Т2 - температура в стані (P2, V1), Т1 - в стані (P1, V1). За допомогою рівняння Менделєєва-Клапейрона вираз (4) запишемо у вигляді . (5) Роботу W, яку газ виконав за цикл, знайдемо як площу циклу: . (6) Отже, для ККД h циклу за умов (3) маємо: . (7) Враховуючи, що R = CP - CV і , остаточно одержимо: .
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-05-08; Просмотров: 209; Нарушение авторского права страницы