Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Численное моделирование механических процессов в заготовке
Для решения задачи упруго-пластичности применяется метод упругих решений, заключающийся в сведении нелинейной задачи пластичности к сходящейся последовательности задач упругости. Меридиональное сечение заготовки разбивалось на треугольные конечные элементы, причем сетки подзадач электродинамики и механики совпадали (рис.2.2). После дискретизации получили систему дифференциальных уравнений, описывающую движение узлов одного элемента, когда он находится в упругом состоянии
, (2.41)
где M- матрица масс, K-матрица жесткости задачи упругости; ; - радиальная координата центра масс элемента; F- локальный вектор сил, действующих на элемент, ‑ вектор перемещений, B – матрица производных функций формы, D- матрица упругих постоянных. При построении численной модели использовались основные соотношения теории пластического течения. 1) приращение деформации на шаге по времени складывается из приращения упругой и пластической деформации:
2) приращение пластической деформации может быть получено по формуле для ассоциированного закона пластического течения:
В данной задаче в качестве условия текучести принят критерий Мизеса
где ,
где - напряжения в элементе, - предел текучести, Аp - работа пластического формоизменения. Закон Гука в дискретной форме
(2.44)
после выражения упругих деформаций из (2.42) как разности полных и пластических деформаций можно записать следующим образом
. (2.45)
Подставляя данное выражение в соотношения МКЭ для упругой задачи, получим
(2.46)
Учитывая, что и , упростим выражение (2.39)
, (2.47)
где - приведенная сила, связанная с пластическим формоизменением. Интегрирование системы дифференциальных уравнений (2.47) проводилось методом дискретизации по времени
(2.48)
где , - значения перемещения, скорости в начале шага; a - ускорения на текущем шаге [42]. После подстановки выражения (2.48) в систему дифференциальных уравнений (2.47) движения получили:
. (2.49)
Выражение (2.49) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно вектора ускорений. Подставив найденный вектор ускорений на данном шаге в (2.48), получим перемещение и скорость в конце данного шага интегрирования. Для приращения приведенной силы была получена формула на основе теории пластического течения. Подставив (2.43) в выражение приведенной силы пластического формоизменения, получим
, (2.50)
где - вектор частных производных от уравнения поверхности текучести. Коэффициент вычислялся по формуле
, (2.51)
где - вектор приращений узловых перемещений на данном шаге, - касательный модуль пластичности. Соотношения (2.51) можно получить следующим образом. Найдем полное приращение выражения , используя дифференциал
. (2.52)
Когда материал находится в пластическом состоянии выполняется условие текучести, а соответственно выражение (2.52) должно тождественно равняться нулю.
(2.53)
С учетом того, что - приращение работы пластической деформации, преобразуем равенство (2.53)
. (2.54) Подставим в (2.54) выражение пластических деформаций через ассоциированный закон течения
. (2.55)
Запишем (2.55) в приращениях
(2.56)
и подставим выражение приращения пластической деформации через ассоциированный закон течения
.(2.57)
Подставляя (2.57) в (2.55) и проводя ряд преобразований, получаем (2.44). Для численного решения задачи необходимо применять итерационную процедуру. Ниже приведен ее алгоритм 1) вычислить вектор внешних сил, используя решение задачи электродинамики; 2) взять вектор приведенной силы пластического формоизменения (2.50) с предыдущего шага и вычислить приращение вектора узловых перемещений по формулам (2.48) и (2.49); 3) используя значения приращения вектора узловых перемещений, вычислить по формуле (2.51); 4) откорректировать вектор приведенной силы пластического формоизменения, используя новое значение ; 5) вычислить уточненное приращение вектора узловых перемещений по формулам (2.48) и (2.49); 6) оценить погрешность, сравнив приращение перемещений на данном шаге с полученными ранее на предыдущей итерации или (для первой итерации) на шаге 2. Если погрешность превышает заданное значение, перейти к шагу 3. 7) Откорректировать значение предела текучести с учетом упрочнения. 8) Если не достигнут конец временного отрезка решения задачи, сделать новый шаг по времени и перейти к шагу 1.
Выводы по разделу
1) Разработана математическая модель электродинамических процессов, протекающих в системе «установка-индуктор-заготовка» учитывающая сопротивление токоподводов и собственную индуктивность установки. 2) На базе теории пластического течения Прандтля и Рейсса разработана математическая модель упруго-пластического деформирования заготовки под действием пондеромоторных сил.
|
Последнее изменение этой страницы: 2019-10-03; Просмотров: 185; Нарушение авторского права страницы