Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Занятие №3 Решение систем неравенств графическим методом
Тип урока: урок изучения нового материала. Вид урока: Лекция, урок решения задач. Продолжительность: 2 часа. Цели: 1) Изучить графический метод. 2) Показать применение программы Maple при решении систем неравенств графическим методом. 3) Развить восприятие и мышление по данной теме. План занятия: 1 этап: изучение нового материала. 2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple. 3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание. Ход занятия. 1 этап: Графический метод заключается в построении множества допустимых решений ЗЛП, и нахождении в данном множестве точки, соответствующей max/min целевой функции. В связи с ограниченными возможностями наглядного графического представления данный метод применяется только для систем линейных неравенств с двумя неизвестными и систем, которые могут быть приведены к данному виду. Для того чтобы наглядно продемонстрировать графический метод, решим следующую задачу:
1. На первом этапе надо построить область допустимых решений. Для данного примера удобнее всего выбрать X2 за абсциссу, а X1 за ординату и записать неравенства в следующем виде:
Так как и графики и область допустимых решении находятся в первой четверти. Для того чтобы найти граничные точки решаем уравнения (1)=(2), (1)=(3) и (2)=(3).
Как видно из иллюстрации многогранник ABCDE образует область допустимых решений. Если область допустимых решений не является замкнутой, то либо max(f)=+ ∞, либо min(f)= -∞. 2. Теперь можно перейти к непосредственному нахождению максимума функции f. Поочерёдно подставляя координаты вершин многогранника в функцию f и сравнивать значения, находим что f(C)=f(4; 1)=19 – максимум функции. Такой подход вполне выгоден при малом количестве вершин. Но данная процедура может затянуться если вершин довольно много. В таком случае удобнее рассмотреть линию уровня вида f=a. При монотонном увеличении числа a от -∞ до +∞ прямые f=a смещаются по вектору нормали[1]. Если при таком перемещении линии уровня существует некоторая точка X – первая общая точка области допустимых решений (многогранник ABCDE) и линии уровня, то f(X)- минимум f на множестве ABCDE. Если X- последняя точка пересечения линии уровня и множества ABCDE то f(X)- максимум на множестве допустимых решений. Если при а→ -∞ прямая f=a пересекает множество допустимых решений, то min(f)= -∞. Если это происходит при а→ +∞, то max(f)=+ ∞.
В нашем примере прямая f=a пересевает область ABCDE в точке С(4; 1). Поскольку это последняя точка пересечения, max(f)=f(C)=f(4; 1)=19. 2 этап. Задача: Решить графически систему неравенств. Найти угловые решения. x 1 + 2 x 2 < =10 2 x 1 + x 2 < =10 x 1 +3 x 2 > =3 5 x 1 - x 2 > =-5 x 1 +6 x 2 > =6 x 1 > = 0, x 2 > =0 > restart; > > > > > > > > > > > > > > with(plots); > with(plottools); >
> S1: =solve( {f1x[1, 1] = X6[1, 1], f2x[1, 1] = X6[1, 2]}, [x, y]); > > > > > > > > >
Ответ: Все точки Si где i=1..10 для которых x и y положительна. Область, ограниченная данными точками: (54/11, 2/11) (5/7, 60/7) (0, 5) (10/3, 10/3) 3 этап. Каждому ученику даётся один из 20 вариантов, в котором ученику предлагается самостоятельно решить неравенство графическим методом, а остальные примеры в качестве домашнего задания. Занятие №4 Графическое решение задачи линейного программирования
Тип урока: урок изучения нового материала. Вид урока: Лекция + урок решения задач. Продолжительность: 2 часа. Цели: 1) Изучить графическое решение задачи линейного программирования. 2) Научить пользоваться программой Maple при решении задачи линейного программирования. 2) Развить восприятие, мышление. План занятия: 1 этап: изучение нового материала. 2 этап: Отработка нового материала в математическом пакете Maple. 3 этап: проверка изученного материала и домашнее задание. Ход занятия. Графический метод довольно прост и нагляден для решения задач линейного программирования с двумя переменными. Он основан на геометрическом представлении допустимых решений и ЦФ задачи. Каждое из неравенств задачи линейного программирования (1.2) определяет на координатной плоскости некоторую полуплоскость (рис.2.1), а система неравенств в целом – пересечение соответствующих плоскостей. Множество точек пересечения данных полуплоскостей называется областью допустимых решений (ОДР). ОДР всегда представляет собой выпуклуюфигуру, т.е. обладающую следующим свойством: если две точки А и В принадлежат этой фигуре, то и весь отрезок АВ принадлежит ей. ОДР графически может быть представлена выпуклым многоугольником, неограниченной выпуклой многоугольной областью, отрезком, лучом, одной точкой. В случае несовместности системы ограничений задачи (1.2) ОДР является пустым множеством. Все вышесказанное относится и к случаю, когда система ограничений (1.2) включает равенства, поскольку любое равенство
можно представить в виде системы двух неравенств (см. рис.2.1)
ЦФ при фиксированном значении определяет на плоскости прямую линию . Изменяя значения L, мы получим семейство параллельных прямых, называемых линиями уровня. Это связано с тем, что изменение значения L повлечет изменение лишь длины отрезка, отсекаемого линией уровня на оси (начальная ордината), а угловой коэффициент прямой останется постоянным (см.рис.2.1). Поэтому для решения будет достаточно построить одну из линий уровня, произвольно выбрав значение L. Вектор с координатами из коэффициентов ЦФ при и перпендикулярен к каждой из линий уровня (см. рис.2.1). Направление вектора совпадает с направлениемвозрастания ЦФ, что является важным моментом для решения задач. Направлениеубывания ЦФ противоположно направлению вектора . Суть графического метода заключается в следующем. По направлению (против направления) вектора в ОДР производится поиск оптимальной точки . Оптимальной считается точка, через которую проходит линия уровня , соответствующая наибольшему (наименьшему) значению функции . Оптимальное решение всегда находится на границе ОДР, например, в последней вершине многоугольника ОДР, через которую пройдет целевая прямая, или на всей его стороне. При поиске оптимального решения задач линейного программирования возможны следующие ситуации: существует единственное решение задачи; существует бесконечное множество решений (альтернативный оптиум); ЦФ не ограничена; область допустимых решений – единственная точка; задача не имеет решений.
Рисунок 2.1 Геометрическая интерпретация ограничений и ЦФ задачи. |
Последнее изменение этой страницы: 2019-10-04; Просмотров: 201; Нарушение авторского права страницы