Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Частотная классификация фильтров
Вся область частот от f = 0 до f = ¥ подразделяется на: а) области, где ослабление не превышает некоторое заданное значение ослабления (полосы пропускания - ПП); б) области, где ослабление не менее некоторого заданного значения (полосы задерживания - ПЗ); в) переходные области (ПО) между ПП и ПЗ, где требования к частотной характеристике ослабления не задаются. По взаимному расположению ПП и ПЗ различают 4 типа фильтров: а) фильтры нижних частот (ФНЧ); б) фильтры верхних частот (ФВЧ); в) полосовые фильтры (ПФ); г) режекторные фильтры (РФ). Амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров приведены на рис. 1 (а - ФНЧ, б - ФВЧ, в - ПФ, г - РФ). Требования по ослаблению для всех четырех типов фильтров показаны на рис. 2.
H(f) H(f) H(f) H(f) ФНЧ ФВЧ ПФ РФ f f f f 0 0 0 0 а) б) в) г) Рис. 1. Амплитудно-частотные передаточные характеристики идеальных фильтров На этих рисунках и - граничные частоты полос пропускания, и - граничные частоты ПЗ, DА - неравномерность характеристики ослабления фильтра в ПП.
a) б) в) г) Рис. 2. Частотные характеристики ослабления идеальных фильтров Нагрузка фильтров
Фильтры могут быть нагружены двухсторонне (рис. 3 а) и односторонне (рис. 3 б, в).
U RH а) б) в) Рис. 3. Виды нагрузок фильтров
Операторная передаточная функция для схемы (рис.3, а) определяется выражением Для схем рис.3, б, в . (1, б) Ослабление фильтра для всех трех схем вычисляется по формуле
(2) Нормирование
При синтезе фильтров широко используется нормирование по сопротивлению и частоте:
- нормированная комплексная частота;
W = ω / ω 0 – нор мированная вещественная частота. Нормирование по сопротивлению и частоте
В этих формулах и - нормирующие сопротивление и частота. ФПНЧ - это фильтр-прототип нижних частот с нормированными значениями сопротивления и частоты, равными единице. Нормированные сопротивления r, индуктивности l, емкости c вычисляются по формулам ; ; . (4) Денормирование Денормирование - это переход от нормированных величин к действительным (номинальным). Коэффициенты денормирования сопротивлений, индуктивностей и емкостей определяются по формулам ; ; . (5) Действительные номинальные сопротивления, индуктивности и емкости вычисляют через коэффициенты денормирования по формулам ; ; . (6) Полиномиальные фильтры Это такие фильтры, операторная передаточная функция которых определяется выражением , (7) здесь - полином Гурвица порядка n , постоянный множитель определяет величину ослабления ФНЧП на частоте W=0. По расположению полос частот пропускания (ПП) и задерживания (ПЗ) фильтры разделяются на ФНЧ, ФВЧ, ПФ и РФ. Ослабление полиномиального фильтра (т.е. его АЧХ) является четной функцией нормированной частоты вида Здесь |H(jW)| - модуль передаточной функции фильтра. Если An-1=An-2=…=A1=0, а A0=An=1, то
где . Фильтры Баттерворта Для полиномиальных фильтров с характеристикой Баттерворта принято частоту нормировать по частоте , при которой уменьшается до 1/Ö 2 = 0, 707 относительно максимального значения Н(0)=1, т.е. когда ослабление составляет 3 дБ. При этом А0=1 и
Такие фильтры называются фильтрами с максимально плоской характеристикой ослабления в ПП или фильтрами с характеристиками Баттерворта. Передаточные функции этих фильтров определяются по формуле
1 0, 707 n=2 n=4 n=4 n=2 DА 0 1 0 a) б) Рис.4. Зависимость модуля передаточной функции H(Ω ) и ослабления A(Ω ) от порядка фильтра Баттерворта
На рис.4а приведены графики частотной зависимости модуля передаточной функции таких фильтров для двух значений n при ослаблении на границе полосы пропускания DА=3 дБ на уровне W=1, а на рис.4, б - кривые ослабления для тех же n. Ослабление в этом случае определяется по формуле (9). Если по условиям задачи ослабление в ПП на его граничной частоте не должно превышать некоторой величины DА, не равной 3 дБ, то нормирующая частота вычисляется по формуле
а ослабление рассчитывается по формуле . (12) Передаточная функция ФНЧ Баттерворта в нормированных величинах имеет вид , (13) где – полином Гурвица, а . Нули полинома Баттерворта рассчитывают по формулам при n - четных ; (13, а) при n - нечетных . (13, б) В этих формулах k = 1, 2, ... 2n. Из этих 2n значений надо выбрать те n значений, которые для имеют отрицательные вещественные части. Произведение сомножителей ( ), соответствующих всем с отрицательными вещественными частями, образует полином . (14) 2.1.5.2. Фильтры Чебышева имеют равномерно-колебательную характеристику в ПП и монотонное возрастание в ПЗ. Для таких фильтров квадрат модуля передаточной функции , (15) где – полином Чебышева степени n, он является четным или нечетным. Передаточная функция ФНЧ Чебышева имеет вид
Здесь произведение всех также полином Гурвица. Полюсы передаточной функции фильтра Чебышева, расположенные в левой полуплоскости, рассчитываются по формулам
Оптимальные свойства чебышевской аппроксимации заключаются в том, что из всех передаточных функций, все полюсы которых лежат в бесконечности, функция Чебышева имеет наименьшую сложность при заданной неравномерности в полосе пропускания и наибольшую крутизну ослабления при переходе к ПЗ. Фильтры Чебышева целесообразно использовать в тех случаях, когда наиболее важным является равномерное прохождение частот во всей полосе пропускания. Однако эти фильтры обладают существенной нелинейной фазовой характеристикой, а, следовательно, и непостоянным временем задержки. Зависимости модуля передаточной функции от нормированной частоты для фильтра Чебышева для n нечетного и четного приведены на рис. 5. Ослабление фильтра Чебышева определяют по формуле , (18) где - полином Чебышева степени n, ε – коэффициент неравномерности, который связан с r-коэффициентом отражения на границе полосы пропускания соотношением (19)
H(f) 1 1 n=5 n=6 0 0
Рис. 5. Зависимость модуля передаточной функции от порядка фильтра
Так, например, для r = 0, 1 DA = 0, 044дБ; для r = 0, 15 DA = 0, 099дБ. На рис. 6, а, б приведены соответствующие кривые ослабления ФНЧ для n нечетного и четного; на рис. 6в - для ПФ при n = 3. A A A n=5 n=6 DA DA 0 1 W 0 1 W 0 W-1 W0 W1 W а) б) в) Рис. 6. Кривые ослабления для четного и нечетного порядков фильтра |
Последнее изменение этой страницы: 2020-02-16; Просмотров: 240; Нарушение авторского права страницы