Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Вычисление определителя и обратной матрицыСтр 1 из 3Следующая ⇒
Определитель матрицы А является побочным продуктом LU-факторизации матрицы А, действительно: . Второе равенство получено на основании того, что определитель произведения матриц равен произведению определителей сомножителей. Вычислим определитель каждого из сомножителей. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов, следовательно . В MATLAB реализована функция вычисления определителя матрицы D = det(A). Перейдем к рассмотрению вопроса о вычислений обратной матрицы. По определению обратная матрица X удовлетворяет матричному алгебраическому уравнению Представим матрицы X и I в виде наборов их столбцов где – вектор, который имеет все нулевые элементы за исключением i-ого, равного 1. Тогда матричное уравнение для обратной матрицы можно переписать в виде , то есть представляет собой n СЛАУ вида . Таким образом, для вычисления обратной матрицы необходимо решить n СЛАУ и составить из полученных решений матрицу. Учитывая, что все n СЛАУ имеют одинаковую матрицу А, целесообразно произвести ее LU-факторизацию и свести задачу вычисления обратной матрицы к решению 2n СЛАУ с треугольными матрицами
Обусловленность СЛАУ. Анализ ошибок решения СЛАУ Определение: СЛАУ плохо обусловлена, если малые изменения элементов матрицы А или вектора b приводят к большим изменениям в решении. Рассмотрим пример плохо обусловленной СЛАУ: Решения этой системы для и для малого значения будут сильно отличаться. Это связано с тем, что на плоскости уравнения системы задают “почти” параллельные прямые 1 и 2 (рис. 2.1). Следовательно, уравнения являются “почти” линейнозависимыми, и при их малом изменении относительно друг друга точка пересечения прямых будет значительно меняться. Рисунок 2.1 Получим количественную характеристику обусловленности СЛАУ. Рассмотрим исходную систему . Изменим вектор правой части таким образом, что , при этом изменится решение СЛАУ . Найдем зависимость от : Учитывая, что имеем Вычислим зависимость норм векторов и . По правилу треугольников имеем поэтому, если мала, то большие изменения приведут к малым изменениям . Удобно иметь дело с относительными величинами и . Учитывая, что , умножая полученное неравенство на , получим: Разделим обе части неравенства на : . Величина называется числом обусловленности матрицы. Как следует из полученного неравенства, это число характеризует относительное изменение нормы решения СЛАУ в зависимости от относительного изменения нормы правой части системы. Для вычисления числа обусловленности матрицы воспользуемся определением нормы матрицы , где – собственное число матрицы . Вычислим Учитывая симметричность и коммутативность операций транспонирования и обращения, получим: Поэтому Из определения числа обусловленности .
Вычисление собственных значений матрицы Рассмотрим наиболее простой алгоритм вычисления собственных значений матрицы, основанный на вычислении корней характеристического полинома матрицы – алгоритм А. Н. Крылова. Алгоритм является следствием теоремы Гамильтона-Кэли. Теорема: квадратная матрица А является корнем своего характеристического полинома то есть матрица А удовлетворяет матричному уравнению Алгоритм А.Н. Крылова основан на вычислении коэффициентов характеристического полинома матрицы, а собственные значения вычисляют как корни характеристического полинома Для вычисления коэффициентов характеристического полинома воспользуемся матричным уравнением, следующим из теоремы Гамильтона-Кэли. Умножим обе части этого уравнения на произвольный введем обозначения ‚ после чего исходное матричное уравнение сведется к векторному уравнению: Из коэффициентов составим вектор а из векторов матрицу В результате получена СЛАУ относительно вектора неизвестных коэффициентов характеристического полинома Решая эту СЛАУ, получим характеристический полином, корни которого есть собственные значения матрицы. Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-03-17; Просмотров: 1197; Нарушение авторского права страницы