![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Точки разрыва функции и их классификация.
Определение. Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х0 ─ точка разрыва функции у = f(x), то в ней выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности функции, а именно:
1) Функция определена в окрестности точки х0, но не определена в самой точке х0. Например, функция у = 2) Функция определена в точке х0 и её окрестности, но не существует предела f(x) при х→ х0. Например, Функция f(x) = х0=2 имеет разрыв т.к. эта функция не имеет предела при х→ 2: 3) Функция определена в точке х0 и её окрестности, существует равен значению функции в точке х0: Например, функция f(x) = Здесь х0 = 0 ─ точка разрыва:
Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва первого рода функции у = f(x), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа, т.е. а) если А1 = А2, то х0 ─ точка устранённого разрыва. б) если А1 ≠ А2, то х0 ─ точка конечного разрыва.
Величина │ А1− А2│ называется скачком функции в точке разрыва первого рода.
Точка разрыва х0 называется точкой разрыва второго рода функции у = f(x), если по крайней мере один из односторонних пределов не существует или равен бесконечности.
Пример 1. у = Пример 2. f(x) = Пример 3. f(x) = Положив g(x) = 1 при х = 0, разрыв устранится, функция станет непрерывной. Лекция 15. Производная и дифференциал функции. Правила дифференцирования.
Определение. Пусть на некотором промежутке (а; b) определена функция у=f(x). Возьмём произвольную точку х0Î (а; b) и придадим аргументу х в точке х0 произвольное приращение ∆ х токое, что точка х0 + ∆ хÎ (а; b). Производной функции у = f(x) в точке х0 называется предел при ∆ х→ 0 отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если этот предел существует. Обозначается предел функции f(x) в точке х0 через f '(x0), т.е. f '(x0) =
Если функция у=f(x) имеет конечную производную в каждой точке хÎ (а; b), то производную f '(x) можно рассматривать как функцию от х, определённую на (а; b). Если для некоторого значения х0 выполняется условие
то говорят, что в точке х0 функция f(x) имеет бесконечную производную знака плюс (или знака минус).
Пример. Найти производную функции f(x) = x2 в точке х = х0. Решение. Придавая аргументу х в точке х0 приращение ∆ х, находим Тогда Теперь находим f '(
Таким образом можно составить таблицу производных простейших элементарных функций:
1. (C)' = 0, где С = const; 2. ( 3. 4. 5. 6. 7. (tg 8. (ctg 9.
f '(x0) = tgφ (рис.1). Пример. Составить уравнение касательной, проведённой из точки М(1; − 3) к параболе f(x) = x2. Решение. Пусть касательная в точке (х0; f(x0)) к параболе f(x)=x2 имеет уравнение у=kx+b. Тогда по геометрическому смыслу касательной k = f '(x0) = 2x0. Так как касательная проходит через точки (1; − 3) и (х0; х02), то имеем систему: откуда, вычитая из второго уравнения первое, получим
Если Если
Определение. Функция у = f(x) называется дифференцируемой в точке х0, если она имеет в этой точке конечную производную. Если функция дифференцируема в каждой точке интервала (а; b), то она называется дифференцируемой на (а; b).
В связи с этим определением операцию нахождения производной часто называют дифференцированием. Если функция у = f(x) дифференцируема в точке х0, то справедливы следующие утверждения: 1) ∆ у = А× ∆ х + α (∆ х)∆ х, где ∆ х ─ приращение аргумента, ∆ у ─ приращение функции, А ─ число, не зависящее от ∆ х, α (∆ х) ─ бесконечно малая функция при ∆ х→ 0. Очевидно, что А = 2) функция у = f(x) непрерывна в точке х0.
Однако, не всякая непрерывная функция является дифференцируемой. Например, функция у = Однако производная у' = (
Определение. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в точке х0. Дифференциалом функции f(x) в точке х0 называется часть приращения функции dy = f '(x0)× ∆ x. Дифференциалом независимой переменной х называется приращение этой переменной, т.е. dx = ∆ x. Таким образом,
Геометрический смысл дифференциала функции у = f(x) состоит в том, что дифференциал dy в точке х0 равен приращению ординаты касательной к графику этой функции в точке М(х0; f(x0)) (рис.2). Во многих задачах приращение функции в данной точке можно приближённо заменить дифференциалом функции в этой точке: ∆ у » dy.
Пример. Используя дифференциал функции, вычислить приближённо Решение. Пусть функция у = ∆ у = Теперь
Правила дифференцирования функций сформулируем в следующей теореме.
Теорема 1. Если функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы в точке х0, то сумма, разность, произведение и частное этих функций (частное при условии, что v(x0)≠ 0) также дифференцируемы в этой точке, причём имеют место следующие формулы:
1)
2)
3) Доказательство. 1) = ±
2) = = + 3) Пусть
= =
Следующая теорема даёт правило дифференцирования сложной функции.
Теорема 2. Если функция х = φ (t) имеет производную в точке t0, а функция у = f(x) имеет производную в соответствующей точке х0 = φ (t0), то сложная функция f(φ (t)) имеет производную в точке t0, причём имеет место следующая формула у'(t0) = f '(x0)× φ '(t0).
Пример. Вычислить у', если у = Решение. Данную функцию можно представить в виде у = у'(
Замечание. В теореме 2 мы рассмотрели сложную функцию, где у зависит от переменной t через одну промежуточную переменную х. Возможна и более сложная зависимость ─ с несколькими промежуточными переменными. При этом правило дифференцирования остаётся прежним.
Пример. Вычислить производную функцию у = tg2( Решение. Данную функцию можно представить в виде у = у'(
Мы уже отмечали, что производная f '(х) функции у = f(x) сама является функцией аргумента х. Следовательно, по отношению к ней снова можно ставить вопрос о существовании и нахождении производной.
Определение. Назовём f '(х) производной первого порядка функции у = f(x), дифференцируемой на некотором промежутке ( f ''(x) называется производной третьего порядка, обозначается f '''(x). Таким образом определяется производная n-го порядка для любого натурального n. Производные, начиная со второй, называются производными высшего порядка и обозначаются: у'', у''', у(4), у(5), …, у(n), …. Итак, по определению
у(n) = (у(n-1))', n = 2, 3, …. Пример. Вычислить производную третьего порядка функции у = Решение. 1) у' = 2) у'' = (у')' = 3) у''' = (у'')' = (
Определение. Пусть функция у = f(x) дифференцируема в каждой точке некоторого промежутка. Дифференциал dy = f '(x)dx называется дифференциалом первого порядка функции у = f(x). Дифференциалы высших порядков (второго, третьего и т.д.) определяются следующей формулой dny = f(n)(x)(dx)n, n = 2, 3, ….
Пример. Вычислить дифференциал d2y, где у = х4 − 3х2 + 4. Решение. 1) dy = (х4 − 3х2 + 4)'dx = (4х3 – 6х)dx. 2) d2y = (4x3 – 6x)'(dx) = (12x2 – 6)(dx)2.
Лекция 16. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Лопиталя-Бернулли.
Теорема Ферма. Пусть функция f(x) определена ( Доказательство. Пусть для определённости в точке х0 функция f(x) имеет наибольшее значение, т.е. для любого хÎ ( Возможны два случая: 1) ∆ х > 0. Тогда
2) ∆ х < 0. Тогда
По условию, f ¢ (x) существует, поэтому существует 0£ Всё это возможно только при Аналогично рассматривается случай, когда в точке х0 функция f(x) имеет наименьшее значение.
Теорема Ролля. Пусть на [ Доказательство. Так как функция f(x) непрерывна на [ m £ f(x) £ M для всех хÎ [ Возможны два случая: 1) M = m. Тогда f(x) = const = M = m. В этом случае для любого хÎ ( 2) m < M. Так как f( Теорема Лагранжа. Пусть на отрезке [
Доказательство. Введём в рассмотрение на [ F(x) = f(x) − f( Функция F(x) удовлетворяют всем трём условиям теоремы Ролля: 1) F(x) непрерывна на [ функции f( 2) F(x) дифференцируема на ( условию, поэтому производная F'(x) = f '(x) − существует на (
3) F( Тогда по теореме Ролля существует точка f '(
Равенство f( Теорема Коши. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на [
Доказательство. Прежде всего отметим, что g( Рассмотрим на [ F'(x) = f '(x) − то f '( откуда, учитывая g'( Формула (*) называется формулой Коши или обобщённой формулой конечных приращений. Замечание. Если в формуле Коши взять функцию g(x) = x, то получим формулу Лагранжа Снова вернёмся к вопросу раскрытия неопределённостей. Познакомимся с простым и эффективным методом раскрытия неопределённостей, который называется правилом Лопиталя-Бернулли. Основано это правило на следующей теореме.
Теорема Лопиталя-Бернулли. Пусть функции f(x) и g(x) определены и дифференцируемы на некотором интервале (
Пример 1. Найти Решение. Функции f(x)=
причём g'(x) =
Замечание 1. Теорема Лопиталя-Бернулли позволяет раскрывать неопределённости Замечание 2. Обычно при вычислении пределов записывают только необходимые преобразования, а проверку выполнения условий теоремы Лопиталя-Бернулли делают по ходу вычислений. Если при этом окажется, что отношение производных снова представляет неопределённость
Пример 2. Замечание 3. Теорема Лопиталя-Бернулли остаётся верной и в случае, когда х→ ∞, х→ +∞, х→ − ∞. Пример 3. Замечание 4. Если в теореме Лопиталя-Бернулли заменить требование
на условие
то теорема остаётся верной. В такой формулировке правило Лопиталя- Бернулли позволяет раскрывать неопределённости вида Пример 4. Найти Решение. =
Замечание 5. Неопределённости вида 0× ∞ и ∞ − ∞ можно свести к неопределённостям вида
Пример 5. Найти предел Решение. Пример 6.
Замечание 6. Неопределённости вида 00, 1∞ , ∞ 0 имеют место при рассмотрении функций у = f(x)g(x). Эти неопределённости с помощью тождества f(x)g(x) = еg(x)ℓ nf(x) сводятся к неопределённостям, которые рассмотрены выше.
Пример 7. = Пример 8.
Замечание 7. Однако правило Лопиталя-Бернулли не всегда применимо.
Пример 9. Найти Решение. Имеем неопределённость вида Бернулли применить здесь нельзя, т.к.
не существует. В таких случаях ищут методы раскрытия неопределённостей без правила Лопиталя-Бернулли.
Лекция 17.
Исследование поведения функции и построение её графика.
Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2016-05-03; Просмотров: 733; Нарушение авторского права страницы