![]() |
Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Устойчивость решения СЛАУ относительно исходных данных
(или обусловленность задач и вычислений) Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений
Будем считать, что det A ¹ 0, Матрица А и вектор правой части Естественно встает вопрос, как эти погрешности (возмущения) исходных данных влияют на точность решения. Чтобы на него ответить, надо познакомиться с особой характеристикой матриц, которую называют обусловленностью [3].
Таким образом, обусловленность характеризует устойчивость решения системы относительно исходных данных Введем еще одно определение: задача решения СЛАУ является корректной, если решение существует, единственно (detA¹ 0) и непрерывно зависит от исходных данных (матриц А и В), т.е. малым изменениям исходных данных соответствуют малые изменения решения задачи. Прежде всего, оговорим различие между плохо обусловленной задачей и плохо обусловленными вычислениями. Если задача плохо обусловлена, то никакие усилия, потраченные на организацию изощренных вычислений, не могут дать правильный ответ, исключая случайность. С плохо обусловленными задачами можно столкнуться при расчетах стержневых систем методами строительной механики, например,
Все плохо обусловленные вычисления являются результатом применения численно неустойчивых алгоритмов. Например, метод исключения Гаусса без выбора главного элемента может обладать таким недостатком. У плохо обусловленной матрицы обратная матрица является неустойчивой, т.е. элементы обратной матрицы значительно изменяются при малом изменении элементов исходной матрицы. n Пример 3.7. Рассмотрим плохо обусловленную систему, записанную в матричном виде: Решение этой системы х1=х2=х3=х4=1. Если изменить правые части на 0, 1 и принять их равными
Если принять величину 1-го коэффициента в 1-ом уравнении равной 4, 99 вместо 5, то получим решение Существенно изменится при этом и обратная матрица. Следует отметить, что чем больше порядок системы, тем сильнее сказывается влияние небольших возмущений коэффициентов системы на ее решение. Обусловленность матрицы (системы) является качественной характеристикой, хотя мы будем стараться оценить ее количественно. Существует несколько способов оценки обусловленности. Например, обусловленность матрицы (системы) можно оценить с помощью величины, называемой мерой обусловленности m(A): где Число m(A), часто обозначаемое cond A (от английского слова conditioned - «обусловленный»), служит также коэффициентом роста относительных погрешностей при неточном задании элементов матрицы А. Чем больше m(A), тем сильнее сказываются возмущения в исходных данных на решении системы линейных уравнений. Если число m(A) велико, то система считается плохо обусловленной. Говорить о том, «что такое хорошо, а что такое плохо» в отрыве от контекста решаемой задачи почти бессмысленно, так как здесь могут играть роль размерность задачи, точность, с которой должно быть найдено ее решение, точность представления чисел в ЭВМ и т.п. Однако можно дать оценку снизу меры обусловленности. Число обусловленности m(A) не может быть меньше 1. Матрица, а соответственно и система, будет хорошо обусловленной, если m(A) стремится к единице. n Пример 3.8. Оценим обусловленность матриц А и В: A = Решение: Обратные матрицы равны:
Вычислим меры обусловленности. Для этого найдем нормы матрицы А:
Мера обусловленности m(A) = 12´ 0, 292=4, 506 невелика и матрица А хорошо обусловлена. Нормы матрицы В:
Мера обусловленности m(B) = 21´ 8421=176841 очень большая и матрица В плохо обусловлена. Примеры решения СЛАУ с использованием электронных таблиц MS Excel Реализация метода Гаусса Рассмотрим решение системы линейных алгебраических уравнений (пример 3.1) методом Гаусса, используя таблицы Excel.
Последовательность действий Введем расширенную матрицу системы, как показано на рис.3.3, в ячейки А3: D5.
Прямой ход метода Гаусса. 1. Поделим элементы 1-ой строки на а11.Для этого в ячейку А7 введем формулу А7=А3/$A$3* и скопируем ее вправо до конца строки. 2. Умножим элементы 1-ой строки на (–а21 ) и прибавим ко 2-й строке. Для этого введем формулу А8=А7*(-$А$4)+А4 и скопируем ее вправо до конца строки. 3. Умножим элементы 1-ой строки на (–а31 ) и прибавим к 3-й строке. Для этого введем формулу А9=А7*(-А$5$)+А5 и скопируем ее вправо до конца строки. Таким образом исключили неизвестное х1 из 2-го и 3-го уравнений системы (смотри 1-й шаг рис.3.3). Осталось исключить неизвестное х2 из 3-го уравнения системы. Для этого реализуем описанный выше алгоритм для 2-й и 3-й строк (смотри 2-й шаг рис.3.3). На этом прямой ход метода Гаусс закончен, матрица системы приведена к треугольному виду.
Обратный ход метода Гаусса. Найдем последовательно неизвестные, начиная с последней строки. Для этого в ячейки G12: G14 запишем формулы: G4=D13/C13 (для вычисления x3); G3=D12-C12*G4 (для вычисления x2); G2=D11-C11*G4-B11*G3 (для вычисления x1). Популярное:
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-08; Просмотров: 2886; Нарушение авторского права страницы