Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Следует отметить также, что непрерывность функции может быть односторонней. Поясним это следующим образом.
Если односторонний предел (см. выше) , то функция называется непрерывной справа. х0 Если односторонний предел , то функция называется непрерывной слева. х0 Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.
Для выполнения условий этого определения не требуется, чтобы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 – го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. Пример. Функция f(x) = имеет в точке х0 = 0 точку разрыва 2 – го рода, т.к. . Непрерывность функции на отрезке. Определение. Функция f(x) называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в любой точке отрезка. При этом не требуется непрерывность функции на концах отрезка или интервала, необходима только односторонняя непрерывность на концах отрезка или интервала. Свойства функций, непрерывных на отрезке. Свойство 1: (Первая теорема Вейерштрасса). Функция, непрерывная на отрезке, ограничена на этом отрезке, т.е. на отрезке [a, b] выполняется условие –M £ f(x) £ M. Свойство 2: Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Т.е. существуют такие значения х1 и х2, что f(x1) = m, f(x2) = M, причем m £ f(x) £ M. Свойство 3: (Вторая теорема Больцано – Коши). Функция, непрерывная на отрезке [a, b], принимает на этом отрезке все значения между двумя произвольными величинами. Свойство 4: Если функция f(x) непрерывна в точке х = х0, то существует некоторая окрестность точки х0, в которой функция сохраняет знак. Свойство 5: (Первая теорема Больцано – Коши). Если функция f(x) - непрерывная на отрезке [a, b] и имеет на концах отрезка значения противоположных знаков, то существует такая точка внутри этого отрезка, где f(x) = 0. Т.е. если sign(f(a)) ¹ sign(f(b)), то $ х0: f(x0) = 0. Свойство 6: (Теорема Кантора). Функция, непрерывная на отрезке, равномерно непрерывна на нем. (Это свойство справедливо только для отрезков, а не для интервалов и полуинтервалов.) Свойство 7: Если функция f(x) определена, монотонна и непрерывна на некотором промежутке, то и обратная ей функция х = g(y) тоже однозначна, монотонна и непрерывна. Теорема Коши. Если две функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы в промежутке , причем производная второй из них не обращается в нуль в этом промежутке, то отношение конечных приращений этих функций на отрезке равно отношению их производных в некоторой точке с промежутка , быть может, не единственной: Это свойство имеет простой геометрический смысл, если непрерывная кривая переходит с одной стороны оси ox на другую, то она пересекает ось Оx. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение. Производной функции f(x) в точке х = х0 называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, если он существует.
у F(x) f(x0 +Dx) P Df f(x0) M A b Dx 0 x0 x0 + Dx x Пусть f(x) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.
, где a - угол наклона касательной к графику функции f(x) в точке (x0, f(x0)). Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.
Уравнение касательной к кривой: Уравнение нормали к кривой: . Фактически производная функции показывает скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной. Физический смысл производной функции f(t), где t- время, а f(t)- закон движения (изменения координат) – мгновенная скорость движения. Соответственно, вторая производная функции - скорость изменения скорости, т.е. ускорение. Основные правила дифференцирования. Обозначим f(x) = u, g(x) = v- функции, дифференцируемые в точке х. 1) (u ± v)¢ = u¢ ± v¢ 2) (u× v)¢ = u× v¢ + u¢ × v (c× u)¢ = c× u¢ 3) , если v ¹ 0 4) |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 422; Нарушение авторского права страницы