Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Свойства скалярного произведения ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba Решение: 5. Если векторы а и b(ненулевые) взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю, т. е. если a b, то ab=0. Справедливо и обратное утверждение: если ab=0 и а 0 b, то а b .
Выражение скалярного произведения через координаты Пусть заданы два вектора Найдем скалярное произведение векторов, перемножая их как многочлены (что законно в силу свойств линейности скалярного произведения) и пользуясь таблицей скалярного произведения векторов i, j, k: т.е Итак, скалярное произведение векторов равно сумме произведений их одноименных координат. 2.Определение векторного произведения Три некомпланарных вектора a, b и с, взятые в указанном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего вектора с кратчайший поворот от первого вектора а ко второму векторуb виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой (см. рис. 16). Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор с, который: 1. Перпендикулярен векторам a и b, т. е. с а и с b; 2. Имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и bкак на сторонах (см. рис. 17), т. е. 3.Векторы a, b и с образуют правую тройку.
Векторное произведение обозначается а х b или [а, b]. Из определения векторного произведения непосредственно вытекают следующие соотношения между ортами i, j и k (см. рис. 18): i х j = k, j х k = i, k х i = j. 1) k i, k j; 2) |k|=1, но | i x j| = |i| • |J| • sin(90°)=1; 3) векторы i, j и k образуют правую тройку (см. рис. 16). Свойства векторного произведения 1. При перестановке сомножителей векторное произведение меняет знак, т.е. а хb =(b хa ) (см. рис. 19). Векторы ахb и b ха коллинеарны, имеют одинаковые модули (площадь параллелограмма остается неизменной), но противоположно направлены (тройки а, b, а хb и a, b, bxaпротивоположной ориентации). Стало быть axb = -(bxa ). 2. Векторное произведение обладает сочетательным свойством относительно скалярного множителя, т. е. (а хb ) = ( а ) х b = а х ( b ). Пусть > 0. Вектор (ахb ) перпендикулярен векторам а и b. Вектор ( а)хb также перпендикулярен векторам а и b (векторы а, а лежат в одной плоскости). Значит, векторы (ахb ) и ( а)хb коллинеарны. Очевидно, что и направления их совпадают. Имеют одинаковую длину: Поэтому (a хb )= ахb. Аналогично доказывается при < 0. 3. Два ненулевых вектора а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулевому вектору, т. е. а||b < => ахb =0. В частности, i *i =j *j =k *k =0. 4. Векторное произведение обладает распределительным свойством: (a+b) хс= ахс+b хс. Примем без доказательства. Выражение векторного произведения через координаты Мы будем использовать таблицу векторного произведения векторов i, j и k: если направление кратчайшего пути от первого вектора к второму совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, если не совпадает — третий вектор берется со знаком «минус». Пусть заданы два вектора а=ахi +ayj +azk и b =bxi +byj +bzk. Найдем векторное произведение этих векторов, перемножая их как многочлены (согласно свойств векторного произведения): Полученную формулу можно записать еще короче: так как правая часть равенства (7.1) соответствует разложению определителя третьего порядка по элементам первой строки.Равенство (7.2) легко запоминается. Дополнительный вопрос Правила интегрирования. 1)∫ d(f(x))=f(x)+C; 2)d∫ f(x)dx=f(x)dx; 3)∫ kf(x)dx=kf(x)dx, где k — постоянная величина; 4)∫ (f(x))±g(x))dx=∫ f(x)dx±∫ g(x)dx; 5)∫ udv=uv-∫ vdu (интегрирование по частям); 6)∫ f(x)dx=F(x)+C ∫ f(φ (t))φ `(t)dt=F(φ (t))+C (замена переменной интегрирования); 7) ∫ f(x)dx=F(x)+C ∫ f(ax+b)dx=1/a F(ax+b)+C. 7.таблица неопределенных интегралов · ∫ xndx=xn+1/(n+1)+C, n -1 · ∫ dx/x=lnІxІ+C · ∫ axdx =ax/lna + C · ∫ exdx=ex+C · ∫ sinxdx=-cosx +C · ∫ cosxdx=sinx +C · ∫ dx/cos2x=tgx+C · ∫ dx/sin2x=-ctgx +C · ∫ dx/(1+x2)=arctgx+C · или ∫ dx/(1+x2) =-arcctgx+C · ∫ dx/ = arcsinx +С · или ∫ dx/ =-arccosx + C · ∫ dx/(a2+x2)= arctg +C · ∫ dx/(a2+x2)=- arcctg +C · ∫ dx/ =arcsin +C (a> 0) · ∫ dx/ =-arccos +C (a> 0) ·∫ dx/ =lnІx+ І+C Таблица производных 8. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ Формула Ньютона-Лейбница Если непрерывна на отрезке и — ее любая первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство ЭТО ЕСЛИ ВСЕ РАСПИСАТЬ: Если функция f (x) интегрируема на [a; b], то для любого существует интеграл который называется интегралом с переменным верхним пределом. Если функция f интегрируема на [a; b], то функция F (x) непрерывна на этом отрезке. Если функция f интегрируема на [a; b] и непрерывна в то функция F (x) дифференцируема в причем Если функция f непрерывна на [a; b], то на этом отрезке она имеет первообразную F вида где C – постоянная. Всякая первообразная функции f на отрезке [a; b] удовлетворяет этой формуле.
Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница: Пусть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда
Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a). Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β ], Тогда если a = g (α ), b = g (β ), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле: Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям: Эллипс(основной 11)
12)Гипербола
a2 b2
b2 a2
Линиями второго порядка называются линии, уравнения которых имеют вторую степень. Парабола Параболой называется множество всех точек равноудалённых от данной точки (фокуса) и от данной прямой (директрисы).
Окружность Окружность- множество всех точек равноудалённых от заданной точки, называемой центром, на заданное ненулевое расстояние, называемое её радиусом.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 405; Нарушение авторского права страницы