Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИКИСтр 1 из 2Следующая ⇒
Л.В.Гулин, С.В.Анахов
СБОРНИК ЗАДАЧ ПО КУРСУ ФИЗИКИ
Учебно-методическое пособие
Екатеринбург ББК В3я73 УДК 530.1 (076) Г 94
Сборник задач по курсу физики: Учеб.-метод. пособие / Л.В.Гулин, С.В.Анахов. - Екатеринбург: ГОУ ВПО «Российский гос. проф.-пед.ун-т», 2009. – 120 с.
В учебно-методическом пособии приведены варианты контрольных работ по курсу физики, даны методические указания к их выполнению, примеры решения типовых задач. Предназначено студентам инженерно-педагогических и профессионально-педагогических специальностей.
Отв. редактор доктор физико-математических наук, профессор А.С. Борухович
Рецензенты: заведующий кафедрой общей физики Уральского государственного педагогического университета доктор физико-математических наук, профессор П.С. Попель; заведующий кафедрой микропроцессорной техники Российского государственного профессионально-педагогического университета кандидат технических наук, доцент А.А. Карпов
Введение В условиях интенсивного научно-технического прогресса необходимо повышение уровня естественнонаучного образования. Для этого максимальное внимание должно быть уделено изучению в высших учебных заведениях любого профиля дисциплин, составляющих фундамент современного учения об окружающем мире. В этом смысле физика занимает особое положение. Именно на ее основе развиваются все направления техники. В недрах физики появились многие основополагающие идеи современной химии и биологии. На стыке физики и математики родилась кибернетика. Достижения физики последних десятилетий стимулировали появление новой междисциплинарной науки - синергетики. Изучение физики расширяет общий кругозор, развивает критический подход к анализу не только явлений живой и неживой природы, но и закономерностей развития общества. Современная физика как наука является важнейшим достижением общечеловеческой культуры в целом. Постоянное оперирование моделями при изучении физики вырабатывает способность к абстрактному мышлению, выделению в том или ином явлении главного, а широкое применение математического аппарата приучает к использованию научных методов. Современный специалист любого профиля встречается в своей практике с большим числом разнообразных механизмов, приборов и методов исследования. Понять принципы действия большинства из них невозможно без общефизической подготовки. Настоящий сборник задач поможет студентам овладеть приемами и методами решения конкретных задач из различных областей физики. ОБЩИЕ МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ 1.1. Самостоятельная работа студента
Учебная работа студента по курсу физики складывается из работы на установочных лекциях и практических занятиях во время лабораторно-экзаменационной сессии и решения задач контрольной работы в ходе самостоятельного изучения курса в межсессионный период. Самостоятельное изучение курса физики следует проводить по учебным пособиям и учебникам [1-12]. Справочные материалы, необходимые при решении задач, приведены в приложении.
Выполнение лабораторных работ
Целью лабораторных работ является закрепление знания основных законов физики, получение навыков работы с измерительными приборами, изучение методов обработки результатов измерений, формирование умений правильно представлять результаты эксперимента и делать из него выводы. На лабораторную работу выделяется четыре часа. В течение первой половины времени изучаются теоретические вопросы, методика выполнения работы и проводятся измерения. В остальное время осуществляется обработка результатов измерений, оформляется отчет, который защищается перед преподавателем, ведущим лабораторную работу. Лабораторная работа считается выполненной, если студент провел измерения, составил отчет и успешно защитил его. Методика выполнения лабораторной работы, теория изучаемого в ней физического явления, порядок оформления отчета и контрольные вопросы изложены в методических указаниях к лабораторной работе, которые выдаются студенту в лаборатории или в читальном зале библиотеки университета. Перед выполнением лабораторной работы студенту нужно пройти инструктаж по технике безопасности. Разрешение на выполнение измерений дает преподаватель или лаборант.
Сдача экзамена и зачета
Изучение физики в каждом семестре заканчивается сдачей экзамена или зачета. Вид отчетности определяется учебным планом и зависит от специализации, формы и сроков обучения. Необходимое условие допуска студента к сдаче экзамена или зачета - выполнение всех контрольных мероприятий и лабораторных работ. Для студентов-заочников обязательным является собеседование с преподавателем, проверяющим контрольную работу. Только при положительном результате собеседования студент получает зачет по контрольной работе и допускается к сдаче семестрового экзамена или зачета. Экзамены и зачеты проводятся по расписанию во время лабораторно-экзаменационной сессии. По нормам высшей школы на экзамен выделяется целый день, на зачет - половина рабочего дня. Экзамены принимаются по билетам или тестам, утвержденным заведующим кафедрой. В билете, как правило, имеется два теоретических вопроса и задача. Перечень теоретических вопросов комплекта билетов сообщается или выдается студентам на установочной сессии. Студенты, показавшие отличные и хорошие знания при защите контрольных работ, освобождаются от решения задачи на экзамене. Студенты, отлично выполнившие контрольные работы, по представлению преподавателя могут быть освобождены заведующим кафедрой от экзамена с проставлением в экзаменационную ведомость оценки " отлично". Список таких студентов сообщается учебной группе перед началом экзамена или зачета. Зачет может приниматься по усмотрению преподавателя по билетам, тестам или по результатам выполнения контрольной работы. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Механика (№№ 101-170)
Пример 1. Эскалатор поднимает идущего по нему вверх человека за t1=1 мин. Если человек будет идти вдвое быстрее, то он поднимется за t2=45 с. Сколько времени будет подниматься человек, стоящий на эскалаторе? Решение. Пусть искомое время равно t; расстояние, которое человек проезжает на эскалаторе, равно s, а скорость движения эскалатора равна v. При равномерном движении эти величины связаны соотношением . (1) Аналогичные соотношения могут быть записаны для t1 и t2: , (2)
. (3)
Скорости v1 и v2 можно найти следующим образом:
v1 = v + vо, (4)
v2 = v + 2vо, (5)
где v0 - скорость движения человека относительно эскалатора в случае, когда время подъема равно t1. Подставляя соотношения (4) и (5) в формулы (2) и (3), получим
, (6)
. (7)
Перепишем соотношения (6) и (7) в виде
,
.
Введем обозначение x = vо/s. Тогда с учетом соотношения (1) получим систему уравнений
Почленное вычитание уравнения (8) из уравнения (9) дает
Подставляя x в уравнение (8), получим
. После преобразований получим выражение
.
Выразив t1 в секундах, находим
= 90 с.
Пример 2. Скорость тела, движущегося прямолинейно, меняется по закону v = At + Bt3, где A = 1 м/с2; B = 3 м/с4. Чему будет равно ускорение тела к моменту времени, когда оно пройдет расстояние s = 14 м? Решение. Ускорение есть производная от скорости по времени: . (1)
Время t находим, используя соотношение
. (2)
Введем обозначение z = t2 и, используя исходные данные, запишем соотношение (2) в виде
.
После преобразований получим уравнение
3z2 + 2z - 56 = 0. (3)
Решение уравнения (3) дает
= 4 с2,
= -4, 7 с2.
Значение z2 должно быть отброшено, так как в соответствии с введенным обозначением z > 0. Подставляя z = 4 с2 в уравнение (1), находим
= 37 м/с2.
Пример 3. Траектория движения материальной точки задается уравнениями: x = At2; y = Bt, где A = 4 м/с2; B = 2 м/с. Радиус кривизны траектории через промежуток времени t = 1 с после начала движения равен R = 17 м. Определить полное ускорение точки в этот момент времени. Построить траекторию движения за первые две секунды. Решение. Уравнение траектории задано в параметрическом виде: x = At2, (1)
y = Bt. (2)
Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим время из уравнений (1) и (2):
.
Полученное выражение представляет собой уравнение верхней ветви параболы, ось которой направлена вдоль оси x. Для построения траектории найдем по уравнениям (1) и (2) значения x и y в моменты времени, взятые с интервалом 0, 5 с:
Траектория движения точки представлена на рис. 1.
Рис. 1 Полное ускорение определяется по формуле
, (3)
где и - тангенциальное и нормальное ускорения соответственно. Эти ускорения находим по формулам
, (4)
, (5)
где v - модуль вектора скорости точки, определяемый по формуле
. (6)
В свою очередь, vx и vy - проекции вектора скорости на оси x и y - вычисляются по формулам
, (7)
(8)
Подставляя уравнения (7) и (8) в (6), получим
, (9)
а затем в соответствии с формулой (4) находим
(10)
Вычисления по формуле (9) дают значение модуля скорости, равное v = 8, 25 м/с, что после подстановки в уравнение (5) позволяет определить нормальное ускорение:
= 4 м/с2. (11)
Подставляя результаты вычислений по формулам (10) и (11) в выражение (4), находим полное ускорение:
= 8, 73 м/с2.
Пример 4. Шайба лежит на платформе, вращающейся вокруг вертикальной оси. Расстояние от шайбы до оси вращения равно R = 2 м. При частоте вращения n = 9 об/мин шайба начинает скользить по платформе. Определить коэффициент трения шайбы о платформу. Решение. На шайбу действуют три силы (рис. 2): сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения .
Рис.2
Запишем уравнение движения шайбы (второй закон Ньютона) сначала в векторной форме:
,
затем в проекциях на оси Ox: (1) и Oy: . (2)
Оставаясь неподвижной относительно платформы, шайба вместе с тем движется с ускорением, которое является центростремительным и определяется по формуле , (3)
где v - линейная скорость шайбы. Модуль силы трения вычисляется по формуле
, (4)
где m - коэффициент трения. Перепишем формулу (4) с учетом уравнения (2):
, (5)
а уравнение (1) - с учетом формул (3) и (5): . (6) Линейная скорость связана с частотой вращения соотношением
. (7)
Подставляя уравнение (7) в формулу (6), имеем
. После преобразований и подстановки исходных данных в системе СИ получим
0, 18.
Пример 5. Конькобежец массой m1, стоя на льду, толкает в горизонтальном направлении камень массой m2 = 5 кг и откатывается назад со скоростью u1= 0, 3 м/с относительно земли. Коэффициент трения камня о лед равен m =0, 06; расстояние, на которое переместился камень, равно s = 15 м. Определить массу конькобежца. Решение. Конькобежец и камень (рис. 3) составляют замкнутую систему, для которой выполняется закон сохранения импульса
(1)
Левая часть уравнения (1) представляет собой импульс системы " конькобежец - камень" до толчка, когда камень и конькобежец покоились; правая — после толчка.
Рис. 3
Запишем уравнение (1) в проекциях на горизонтальную ось: 0 = - m1u1 + m2u2
и получим выражение для модуля скорости камня после броска (2) При движении камня по льду на него действуют три силы: сила тяжести , сила нормальной реакции опоры и сила трения . Первые две силы перпендикулярны к направлению движения и работы не совершают, поэтому работа всех сил будет равна работе силы трения: .
Изменение кинетической энергии камня в процессе торможения после броска составит .
Используя теорему о кинетической энергии, получим . (3) Переписав формулу (3) с учетом выражения (2):
, получим выражение для расчета искомой величины
. После подстановки исходных данных имеем
= 70 кг.
Пример 6. Нерастяжимая тонкая гибкая нить одним концом закреплена, как показано на рис.4, затем перекинута через невесомый подвижный блок и через неподвижный блок в виде сплошного диска массой m = 6 кг. К подвижному блоку подвешен груз массой m1 = 5 кг, ко второму концу нити подвешен груз массой m2 = 10 кг. Определить: 1) скорости поступательного движения грузов v1 и v2 , когда они, будучи предоставленными самим себе, придут в движение и правый груз опустится на высоту h = 3, 5 м; 2) ускорения a1 и a2, с которыми будут двигаться грузы; 3) силы натяжения нити. Трением, массой нити и массой подвижного блока можно пренебречь.
Решение. На тела системы действуют консервативные силы тяжести и упругости, поэтому выполняется закон сохранения механической энергии:
, (1) где w - угловая скорость неподвижного блока; J - момент инерции неподвижного блока. Очевидно, что . (2)
Скорость поступательного движения правого груза совпадает с линейной скоростью точек, лежащих на ободе неподвижного блока, поэтому
, (3)
где R - радиус неподвижного блока. Момент инерции блока в виде сплошного диска определяется по формуле . (4) Перепишем уравнение (1) с учетом формул (2)-(4): .
После преобразований получим
. (5) Подставляя исходные данные в формулу (5), найдем скорость v2: = 6 м/с,
а затем по формуле (2) вычислим v1: = 3 м/с.
Ускорение второго груза найдем по формуле
= 5, 14 м/с2. (6)
Очевидно, что ускорение первого груза будет вдвое меньше: = 2, 57 м/с2. (7)
Рассмотрим силы, действующие на тела системы (рис. 5). На первый груз действуют силы натяжения нити и , а также сила тяжести . На второй груз действует сила тяжести и сила натяжения нити . Направим ось y вертикально вверх и напишем для каждого груза уравнение движения (второй закон Ньютона) в проекциях на эту ось. Для первого груза , (8)
для второго груза . (9) Момент сил и относительно оси подвижного блока равен нулю, так как блок невесомый. Из этого следует, что и уравнение (8) может быть переписано в виде .
Найдем Т1 с учетом формулы (7):
= 30, 9 Н. (10)
Выразим T2 из уравнения (9) и найдем с учетом (6): = 46, 6 H. (11)
Под действием сил и неподвижный блок будет вращаться по часовой стрелке с угловым ускорением e. Согласно основному закону динамики вращательного движения
T'R - TR = Je. (12)
Угловое ускорение e связано с ускорением второго груза а2 и радиусом неподвижного блока R соотношением . (13)
Подстановка формул (4) и (13) в выражение (12) приводит после сокращения на R к уравнению
.
Это уравнение нужно лишь для проверки правильности ранее найденных значений Т1 и Т2, так как согласно третьему закону Ньютона с учетом невесомости нити имеем
T'= Т2 = 46, 6 Н, Т = Т1 = 30, 9 Н. Пример 7. Горизонтальная платформа в виде сплошного диска массой m1 = 200 кг вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через ее центр, с частотой n = 8, 5 об/мин. Человек массой m2 стоит при этом в центре платформы. Когда человек перешел на край платформы, она стала вращаться с частотой n’ = 5 об/мин. Найти массу человека, считая его материальной точкой. Решение. Человек и платформа представляют собой замкнутую систему тел, вращающихся вокруг одной и той же неподвижной оси. Для такой системы справедлив закон сохранения момента импульса
, (1)
где J1 и — моменты инерции платформы до и после перехода человека соответственно; J2 и — моменты инерции человека до и после перехода соответственно; w — угловая скорость платформы и человека до перехода; w’ — угловая скорость платформы и человека после перехода. Угловые скорости связаны с частотой вращения соотношениями
, (2) (3)
Момент инерции платформы (сплошного диска) определяется по формуле , (4) где R - радиус платформы. Очевидно, что J1 = Момент инерции человека (материальной точки), находящегося на краю платформы, определяется по формуле
(5)
Момент инерции человека, стоящего в центре платформы, равен J2 = 0. C учетом этого, а также принимая во внимание формулы (2)-(5), перепишем уравнение (1) в виде
.
После сокращений на общие множители и перегруппировки членов получим . (6)
Подстановка исходных данных в формулу (6) дает
70 кг.
Термодинамика (№№ 231-250)
Пример 1. Кислород массой m = 2 кг занимает объем V1 = 1 м3 и находится под давлением P1 = 0, 2 МПа. После нагревания при постоянном давлении он занял объем V2 = 3 м3, а затем его давление в ходе изохорического процесса стало равным P3 = 0, 5 МПа. Найти изменение внутренней энергии газа DU, совершенную им работу A и количество теплоты Q, переданной газу. Построить график процесса. Решение. График процесса приведен на рис. 6. Работа расширения газа A12 при изобарическом переходе из состояния 1 в состояние 2 вычисляется по формуле
Работа газа A23 при изо-хорическом переходе из сос-тояния 2 в состояние 3 равна нулю.
Таким образом, полная работа A, совершаемая газом при переходе из состояния 1 в состояние 3, равна
.
Изменение внутренней энергии газа при переходе 1®2®3 определяется соотношением
(1)
где i - число степеней свободы газа; T1 и T3 - температура газа соответственно в начальном и конечном состояниях. Уравнения Менделеева - Клапейрона для состояний 1 и 3 запишутся в виде (2) (3)
После совместного решения уравнений (1)-(3) получим выражение для изменения внутренней энергии газа:
Согласно первому началу термодинамики, теплота Q, переданная газу, расходуется на совершение газом работы и на изменение его внутренней энергии: Q = A + D1U.
Произведем вычисления, учитывая, что для двухатомных молекул кислорода кг/моль, а число степеней свободы i = 5: A = A12 = 0, 2 × 106 × (3 - 1) = 0, 4 × 106 Дж = 0, 4 МДж;
× МДж;
Q = (3, 25 + 0, 4) = 3, 65 МДж. Пример 2. Тепловой двигатель, работающий по циклу Карно, получает тепло от нагревателя при температуре 227 °С в количечтве Q1=5 кДж за цикл и передает часть его окружающему воздуху. При этом двигатель совершает за цикл работу, равную 2 кДж. С каким к.п.д. работает двигатель? Какова температура окружающего воздуха и как изменяется его энтропия за счет работы двигателя в течении одного цикла?
Р е ш е н и е. Коэффициент полезного действия двигателя, работающего по циклу Карно, равен
(1)
где Q2 - тепло, передаваемое двигателем холо-дильнику (окружающей среде); A - работа; Т2 – температура холодильника (окружающей среды - воздуха); Т1 - температура нагревателя. Отсюда к.п.д.: .
Температура окружающей среды (Т1=227+273=500К):
Т2=Т1(1-h)=500(1-0, 4)=300К=270С.
Изменение энтропии окружающей среды определим по формуле Клаузиуса:
=0, 01кДж/К=10Дж/К.
Заметим, что энтропия окружающей среды возрастает, так как она получает тепло от теплового двигателя.
Электростатика
Пример 1. Два точечных электрических заряда q1 = 1 нКл и q2 = - 2 нКл находятся в воздухе на расстоянии d = 10 см друг от друга. Определить напряженность и потенциал j поля, создаваемого этими зарядами в точке А, удаленной от заряда q1 на расстояние r1 = 9 см и от заряда q2 - на расстояние r2 = 7 см. Решение. Согласно принципу суперпозиции электрических полей каждый заряд создает поле независимо от присутствия в пространстве других зарядов. Поэтому напряженность электрического поля в искомой точке может быть найдена как геометрическая сумма напряженностей полей, создаваемых каждым зарядом в отдельности: . Напряженности электрического поля, создаваемого в воздухе (e = 1) зарядами q1 и q2, равны , . (1)
Вектор (рис. 7) направлен по силовой линии от заряда q1, так как этот заряд положителен; вектор направлен также по силовой линии, но к заряду q2, поскольку этот заряд отрицателен.
Модуль вектора найдем по теореме косинусов:
, (2)
где a - угол между векторами и , который мо-жет быть найден из треугольника со сторонами r1, r2 и d: .
Во избежание громоздких записей значение cosa удобнее вычислить отдельно:
.
Подставляя выражения Е1 и Е2 из уравнений (1) в формулу (2) и вынося общий множитель за знак корня, получаем
.
В соответствии с принципом суперпозиции потен-циал поля, создаваемого двумя зарядами q1 и q2, равен алгебраической сумме потенциалов, т.е.
. (3)
Потенциал электрического поля, создаваемого в воздухе (e = 1) точечным зарядом q на расстоянии r от него, вычисляется по формуле
. (4)
Согласно формулам (3) и (4),
. Учтем, что ,
и произведем вычисления:
× 103 В/м кВ/м.
157 В.
При вычислении Е знак заряда q2 опущен, так как он определяет направление вектора напряженности, которое было учтено при графическом изображении вектора (см. рис. 7). Пример 2. Конденсатор емкостью C1 = 3 мкФ был заряжен до разности потенциалов U1 = 40 В. После отключения от источника тока его соединили параллельно с другим незаряженным конденсатором емкостью C2 = 5 мкФ. Какая энергия W израсходуется на образование искры в момент присоединения второго конденсатора? Решение. Энергия, израсходованная на образование искры, равна
W = W1- W2, (1)
где W1 - энергия, которой обладал первый конден-сатор до присоединения к нему второго конден-сатора; W2 - энергия, которую имеет батарея, состав-ленная из двух конденсаторов. Энергия заряженного конденсатора определяется по формуле , (2)
где C - емкость конденсатора; U - разность потенциалов между его обкладками. Выразив в уравнении (1) энергии W1и W2 по формуле (2) и приняв во внимание, что общая емкость параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, получим , (3)
где U2 - разность потенциалов на зажимах батареи конденсаторов. Учитывая, что общий заряд q после подключения второго конденсатора остался прежним, выразим разность потенциалов U2 следующим образом:
. (4)
Подставив выражение (4) в формулу (3), найдем
. Произведем вычисления:
1, 5 × 10-3 Дж.
Постоянный ток
Пример 1. ПотенциометрссопротивлениемRп= 100 Ом подключен к батарее, ЭДС которой e = 150 В, а внут-реннее сопротивление r = 50 Ом, как показано на рис. 8. Определить: 1) показание вольтметра, соединенного с одной из клемм потенциометра В и подвижным контактом А, установленным посередине потенциометра, еслисопротивление вольтметраравно RV =500 Ом; 2) разность потенциалов между теми же точками потенциометра при отключении вольтметра. Решение. Показание вольтметра, подключенного к точкам А и В (рис. 8), или разность потенциалов U1 между точками А и В, определяем по формуле
U1 = I1R1, (1)
где R1 - сопротивление параллельно соединенных вольтметра и половины потенциометра; I1 - суммарная сила тока в ветвях этого соединения (она равна силе тока в неразветвленной части цепи). Силу тока I1 найдем по закону Ома для полной цепи: , (2)
где R - сопротивление внешней цепи. Оно является суммой двух сопротивлений:
. (3)
Перепишем формулу (2) с учетом выражения (3):
(4)
Сопротивление R1 найдем по формуле параллельного соединения проводников
, откуда . (5)
Произведем промежуточные вычисления по формулам (5), (4) и (1):
45, 5 Ом,
1, 03 А,
U1 = 1, 03 × 45, 5 = 46, 9 В.
Разность потенциалов между точками А и B при отключенном вольтметре равна произведению силы тока I2 на половину сопротивления потенциометра:
(6)
Силу тока в цепи при отключенном вольтметре определяем по формуле (7)
Подставив выражение (7) в формулу (6), найдем разность потенциалов U2:
После вычислений получим
50 В.
Пример 2. Найти мощность, выделяемую электри-ческим током в нагрузке R = 25 Ом, если последняя подключена к источнику постоянного тока с внут-ренним сопротивлением r = 0, 1 Ом и током короткого замыкания Iк.з = 150 А. Решение. Записываем выражение для определения мощности, выделяемой на нагрузке R:
P = I2R. (1)
Согласно закону Ома для замкнутой цепи
. (2)
Запишем соотношение, связывающее ток короткого замыкания Iк.з, ЭДС источника e и его внутреннее сопротивление r: . (3) Отсюда |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 428; Нарушение авторского права страницы