Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов
Векторная алгебра Прямоугольные координаты вектора. Действия над векторами, заданными своими координатами Определение 4 Проекцией вектора на ось называется число, равное длине вектора (рис. 9), взятое со знаком «плюс», если направление вектора совпадает с направлением оси и со знаком «минус» в противном случае. Точки - это точки пересечения оси с плоскостями, проходящими через точки и , перпендикулярно оси . Обозначение .
Основные свойства проекции: 1) , где - угол между вектором и осью ; 2) ; 3) ; 4) . Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат . Построим на координатных осях и единичные векторы, обозначаемые соответственно (рис. 10). Единичные векторы , имеющие направление положительных координатных полуосей, называются ортами координатныхосей. Произвольный вектор пространства можно единственным образом представить в виде линейной комбинации ортов координатных осей. Для разложения вектора совместим его начало с началом координат (рис. 10). Из конца вектора проведем плоскости, параллельные координатным плоскостям. Обозначим , и точки пересечения этих плоскостей с осями соответственно. Тогда , , , . а значит, существуют числа , такие что , , и , , . Следовательно, вектор можно представить в виде: . (5) Формула (5) называется разложением вектора по ортам координатных осей или по базису . Коэффициенты линейной комбинации (5) называют прямоугольными координатами вектора , т.е. координаты вектора есть его проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство (5) записывают в виде (6) Имеет место аналогичное разложение вектора по базису на плоскости (рис. 11). . (7) Длина вектора с координатами определяется по формуле . (8) Для плоского вектора . (9) Направление вектора в пространстве и на плоскости можно определить с помощью косинусов углов, которые образует вектор с осями координат. Их называют направляющими косинусами вектора. Обозначим - углы, которые составляет вектор с осями соответственно, тогда , , . (10) Справедливо равенство . (11) При выполнении линейных операций над векторами тем же операциям подвергнутся и их проекции на координатные оси. Пусть даны два вектора и . При сложении векторов их одноименные координаты складываются, при вычитании – вычитаются, при умножении на число – умножаются на это число: , (12) . Векторы и равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты: , , . (13) Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда их соответствующие координаты пропорциональны, т.е. . (14)
Радиус-вектором точки называется вектор (рис. 12), начало которого совпадает с началом координат, а конец с точкой .
Координаты точки – это координаты её радиус-вектора . Для вектора , заданного координатами точки и , его координаты определяются из векторного равенства (15) Здесь и - радиус-векторы точек и , т.е . координаты вектора равны разностям одноименных координат конечной и начальной точек этого вектора. Деление отрезка в данном отношении Определим радиус-вектор точки , делящей отрезок в отношении . Вектор и одинаково направлен с , поэтому . Учитывая векторные равенства , получим , откуда (16) Из равенства векторов (16) следуют три координатных формулы , , . (17) Для ( - середина отрезка ) , , . (18)
Скалярное произведение векторов Определение 5 Скалярным произведением двух ненулевых векторов и называется число, обозначаемое , равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (рис. 13). Таким образом (19) где . Из рисунка видно: , . (20) С учетом (20) можно записать равенства . (21)
Свойства скалярного произведения: 1) (коммутативный закон); 2) (дистрибутивный закон); 3) (ассоциативный по отношению к скалярному множителю); 4) , скалярный квадрат вектора равен квадрату длины вектора. В частности . 5) Условие перпендикулярности векторов. Если векторы и ненулевые, то (22) В частности .
Приложения скалярного произведения С помощью скалярного произведения определяют косинус угла между векторами по формуле: , (24) или переходя к координатам векторов . (25) Находят проекцию одного вектора на направление другого по формуле: , . (26) Определяют длину вектора . (27) Приложение векторного произведения Площадь параллелограмма, построенного на векторах и : (32) а площадь треугольника, построенного на векторах и : (33)
Векторная алгебра Векторы и линейные операции над векторами. Разложение векторов Определение 1. Вектором (геометрическим вектором) называется направленный отрезок, то есть отрезок, имеющий определенную длину и направление. Векторы рассматриваются на плоскости (двумерные) и в пространстве (трехмерные). И в том, и в другом случае вектор определяется упорядоченной парой точек, первая из которых – начало вектора, другая – конец вектора. Для обозначения векторов используются символы , , , . Если и соответственно точки начала и конца вектора, то этот вектор обозначается (Рис. 1). Вектор с началом в точке и концом в точке называет противоположным вектору . Длиной или модулем вектора называется число, равное длине отрезка , изображающего вектор. Векторы и имеют один и тот же модуль. Нулевым вектором называется вектор, начало и конец которого совпадают. Нуль-вектор обозначается символом . Модуль нулевого вектора равен нулю. Единичным вектором называет вектор, длина которого равна единице. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора и обозначается . Два ненулевых вектора называются равными, если один из них путем параллельного переноса можно совместить с другим так, что совпадут их начала и концы (рис 2). Обозначают . С точки зрения векторной алгебры вектор не меняется при его параллельном переносе с сохранением его длины и его направления, то есть точку приложения вектора можно помещать в любую точку пространства. Такие векторы называются свободными. Линейными операциями над векторами называются операции сложения, вычитания и умножения вектора на число. Сложение двух векторов и можно выполнить с помощью правила параллелограмма. Если отложить векторы и от общей точки и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой (рис. 3). Для построения суммарного вектора не обязательно строить весь параллелограмм , достаточно построить треугольник . Сформулированное правило определения суммы можно заменить более удобным. Суммой двух векторов и называется вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом второго при условии, что начало второго слагаемого совмещено с концом первого (рис. 4). При этом ясно, что результат сложения не зависит от того, в какой точке пространства начало первого слагаемого: при её изменении весь треугольник параллельно переносится. Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. Сложение многих векторов , , , , совершается последовательно: сначала складывается первый вектор со вторым , затем к их сумме прибавляется третий вектор , затем к полученной сумме прибавляется вектор и т.д. (рис. 5). Непосредственно видно, что получается следующее правило для сложения векторов. Правило многоугольника. Суммой нескольких векторов является вектор, соединяющий начало первого слагаемого вектора с концом последнего при условии, что начало каждого последующего вектора совмещено с концом предыдущего (рис. 6).
Законы сложения векторов: 1. , 2. , 3. . Разностью двух векторов и называется вектор , который при сложении с вектором даёт вектор (рис. 7). Заметим, что если на векторах и , отложенных от общего начала, можно построить параллелограмм, то одна направленная диагональ является суммой векторов, а другая разностью. Произведением ненулевого вектора на число называется вектор (или ), длина которого равна , а направление совпадает с направлением вектора , при и противоположно ему при . Например, если дан вектор , то векторы и имеют вид и . Законы умножения вектора на число: 1. , 2. , 3. , 4. . Из определения произведения вектора на число следует, что всякий вектор может быть представлен в виде произведения модуля вектора на орт этого вектора. (1) Если над векторами , , , выполнять действия сложения, вычитания и умножения на число, то в результате любого числа таких действий получится вектор вида , представляющий собой линейную комбинацию исходных векторов. Векторы , , , называются линейно зависимыми (связанными линейной зависимостью), если между ними выполняется соотношение следующего вида: , (2) где скалярные коэффициенты не все равны нулю. Если все коэффициенты равны нулю, то соотношение (2) будет выполняться, но оно не будет устанавливать зависимости между векторами. Про векторы , , , говорят, что они линейно независимые. Понятие линейной независимости между векторами используется для алгебраической характеристики взаимного расположения векторов в пространстве. Определение 2 Два ненулевых вектора и называются коллинеарными (обозначают ), если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Коллинеарные векторы могут быть одинаково направленными (как векторы и ) или противоположно направленными (векторы и (рис 8)). Теорема 1 Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Следствие. Если между двумя неколлинеарными векторами выполняется равенство , то оба коэффициента должны равняться нулю . Определение 3 Ненулевые векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Любые два вектора всегда компланарны, а три вектора могут и не быть компланарными. Теорема 2 Три вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны. - компланарны (3) Представление вектора в виде линейной комбинации векторов и по (3) называется разложением на плоскости по двум неколлинеарным векторам. Рассмотрим произвольный вектор и тройку некомпланарных векторов . Теорема 3 Каждый вектор единственным образом разлагается по трем некомпланарным векторам , т.е. представляется в виде (4) Из (4) следует, что любые четыре вектора в пространстве линейно зависимы. Упорядоченная тройка некомпланарных (линейно независимых) векторов называется базисом во множестве геометрических векторов пространства. Скалярные коэффициенты однозначно определяются и называются координатами вектора относительно базиса . Аналогично: упорядоченная пара неколлинеарных (линейно независимых) векторов образует базис геометрических векторов на плоскости. Коэффициенты в разложении (4) есть координаты вектора относительно базиса .
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-15; Просмотров: 831; Нарушение авторского права страницы