Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Запись оптимального решение двойственной задачи по оптимальному решению прямой задачи. Краткий анализ оптимального решения прямой задачи
Решая прямую задачу, мы одновременно получаем и решение двойственной задачи. Симплексный метод обладает такой особенностью, что при решении одной из двойственной пары автоматически получается решение другой задачи без дополнительных вычислений Zmax = Tmin (значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают). Оценки дополнительных переменных прямой задачи полностью совпадают со значениями основных переменных двойственной задачи. Эти величины получили название двойственных оценок (объективно-обусловленных оценок) ограниченных ресурсов. Yi - условные цены соответствующих ресурсов (теневые цены). То есть, значение основной первой переменной Y1 двойственной задачи равно значению оценки дополнительной переменной, введенной в первое ограничение прямой задачи. Значение основной второй переменной Y2 двойственной задачи равно значению оценки дополнительной переменной, веденной во второе ограничение прямой задачи и т.д. Значение первой дополнительной переменной двойственной задачи равно значению оценки первой основной переменной прямой задачи. Значение второй дополнительной переменной двойственной задачи равно значению оценки второй основной переменной прямой задачи и т.д. Коэффициенты aij в первой (исходной) симплексной таблице представляют собой технико-экономические коэффициенты. В процессе решения они претерпевают значительные изменения. Из нормативов, характеризующих затраты производственных ресурсов, они превращаются в коэффициенты замещения или пропорциональности. Каждый из них представляет величину уменьшения (аij> 0) или увеличения (аij< 0) соответствующей i-й базисной переменной при введении в базис j-й основной свободной переменной. Коэффициенты целевой функции Cj характеризуют прямой эффект введения в базис j -й переменной с единичной интенсивностью. В зависимости от смысла той или иной переменной планово-экономической задачи величина Cj может быть положительной, отрицательной или равной нулю. Величина (для j, не входящих в базис) характеризует косвенный эффект введения в базис j-й свободной переменной. Она показывает, на сколько уменьшится целевая функция за счет изменения базисных переменных при введении в базис j-й небазисной переменной единичной интенсивности. Разность Cj-Zj=-Dj представляет собой чистый эффект, получаемый при введении в базис j-й переменной. При этом целевая функция возрастает на величину прямого и уменьшается на величину косвенного эффекта. Коэффициенты последней симплексной таблицы и двойственные оценки ресурсов позволяют исследовать чувствительность оптимального решения к уточнениям исходных условий задачи. В каждом случае изменяется только один параметр, а все остальные остаются на первоначальном уровне. Проведя на основе оптимального плана количественный анализ, можно определить, как изменяется объем производства и другие факторы при изменении условий производства, объемов ресурсов в определенных пределах. Пример Записать исходную задачу. Решить симплексным методом, проанализировать коэффициенты последней симплексной таблицы и двойственные оценки. Рассмотрим следующую задачу: в хозяйстве имеется 200 га орошаемой и 500 га богарной пашни. Предполагается возделывать на этих участках турнепс и подсолнечник на силос. Трудовые ресурсы хозяйства 12000 чел.-дн., ресурс поливной воды – 500 тыс. м3. Таблица. Эффективность возделывания с.-х. культур.
Определить оптимальное распределение площади пашни, обеспечивающее максимальное производство кормов. Составим задачу линейного программирования. Определить значения переменных: Х1, га – площадь посева турнепса на богаре; Х2, га – площадь посева турнепса на поливе; Х3, га – площадь посева подсолнечника на богаре; Х4, га – площадь посева подсолнечника на поливе, которые обеспечат получение максимального значения целевой функции Z, ц к.ед. max Z = 30 Х1+50 Х2+22 Х3+60 Х4 при условиях: баланс богарной пашни, га: Х1+Х3 £ 500 баланс орошаемой пашни, га: Х2+Х4 £ 200 баланс трудовых ресурсов, чел.-дн., 40 Х1+50 Х2+20 Х3+30 Х4 £ 12000 баланс ресурсов воды для полива, тыс.м3: Х2+2Х4 £ 500 Хj ³ 0, ( j = 1¸ 4). Приведем задачу к каноническому виду и занесем в первую симплексную таблицу исходное опорное решение. Первая симплексная таблица
Решим задачу симплексным методом, оптимальное решение получим в четвертой симплексной таблице (задачу решали в полных таблицах). Последняя симплексная таблица
В таблице приведено оптимальное решение (единственное):
Максимальное количество кормов – 18600 ц к.ед. будет получено при возделывании подсолнечника на силос на богаре на площади 300 га и на поливе на площади 200 га. При этом недоиспользуется 200 га богарной пашни и 100 тыс. м3 воды для полива. Полностью используются трудовые ресурсы (X7=0) и орошаемая пашня (X6 = 0). Турнепс на корм не возделывается (X1 =0, X2 = 0). Каждой прямой задаче линейного программирования можно поставить в соответствие двойственную. Рассмотрим экономический смысл двойственной задачи. Переменные Y1, Y2, Y3, Y4 – условные цены соответствующих ресурсов. Необходимо определить оптимальный план *(Y1, Y2, Y3, Y4) при условиях: Y1+40Y3 ³ 30 Y2+ 50Y3 + Y4 ³ 50 Y1+ 20Y3 ³ 22 Y2 +30Y3 + 2Y4 ³ 60 Yi ³ 0, i = 1¸ 4 min T = 500Y1+ 200Y2 + 12000Y3+ 500Y4 Условия задачи отражают условия получения запланированной урожайности (чтобы получить плановую урожайность необходимо затратить соответствующее количество ресурсов), а целевая функция – минимальная стоимость используемых ресурсов.
Решим Y-задачу М-методом. Найти при условиях: Y1+ 40Y3 - Y5+ W1=30 Y2+ 50Y3 + Y4 – Y6 + W2 = 50 Y1+ 20Y3 – Y7 + W3 = 22 Y2 +30Y3 + 2Y4 – Y8 + W4 = 60 Yi ³ 0, i = 1¸ 8; Wi ³ 0, i = 1¸ 4 Последняя симплексная таблица М-задачи.
Так как искусственные переменные Wi = 0, i = 1 ¸ 4, то их в таблицу записывать не стали. Сопоставляя конечные симплексные таблицы прямой и двойственной задач можно заметить, что нет необходимости решать их отдельно. Решая прямую задачу, мы одновременно получаем и решение двойственной задачи. Симплексный метод обладает такой особенностью, что при решении одной из двойственной пары автоматически получается решение другой задачи без дополнительных вычислений Zmax = Tmin = 18600 (значения целевых функций прямой и двойственной задачи совпадают). Оценки свободных дополнительных переменных полностью совпадают со значениями переменных, вошедших в базис двойственной задачи: Y1 =D5, Y2 =D6, Y3 =D7, Y4 =D8, (Y5 =D1, Y6 =D2, Y7 =D3, Y8 =D4). Эти величины получили название двойственных оценок (объективно-обусловленных оценок) ограниченных ресурсов. Yi - условные цены соответствующих ресурсов. Двойственные оценки имеют определенный экономический смысл: они служат мерой полезности каждого ресурса, включаемого в задачу, при фиксированных условиях. Это позволяет установить пропорции взаимозаменяемости ресурсов, оценить их важность, эффективность с точки зрения критерия оптимальности, выявить " узкие места" и вскрыть внутренние резервы плана. Рассмотрим двойственные оценки нашей задачи. Богарная пашня и ресурс поливной воды (x5 и x8) недоиспользуются, т.е. их имеется больше, чем нужно, поэтому их оценки равны нулю (У1 = 0, У4 = 0). При нулевой оценке ресурса изменение его объема в пределах избыточности не вызовет никаких колебаний в структуре производства и не повлияет нa значение целевой функции. Приобретение лишней единицы избыточного ресурса всегда уменьшает доход хозяйства, так как она остается неиспользованной. Ресурсы, используемые в полном объеме, всегда имеют положительную оценку. Условия задачи определяют оценку каждого фактора, внутреннюю для данного производства. Следует иметь ввиду, что эта оценка является относительной. Одни и те же производственные факторы для разных предприятий и районов представляют различную ценность. В нашем примере полностью используются орошаемая пашня и трудовые ресурсы, наибольшее значение имеет ресурс " орошаемая пашня" (оценка D6 = 27, а D7 =11/10). Чтобы выяснить, что означает здесь двойственные оценки, рассмотрим экономическое содержание всех показателей симплексной таблицы. Проведем такой анализ для полученного оптимального плана Х-задачи. Площадь орошаемой пашни используется в решении полностью (х6 =0). Пусть небазисная переменная x6 войдет в базис с единичной интенсивностью: x6=1 (т.е. недоиспользуется I га орошаемой пашни, ресурс составит 199 га). Это приведет к следующим изменениям в оптимальном плане (см. коэффициенты в столбце x6 последней симплексной таблицы). Площадь подсолнечника на орошаемой пашни (x4) сократится на 1гa (a26=1), площадь подсолнечника на богаре (х3) увеличится на 3/2 га (a36 = -3/2), недоиспользование богарной пашни (х5) сократится на 3/2 га (a16 = 3/2), освободится 2 тыс.м3 поливной воды (a46 = -2). Тогда сокращение посевов х4 приведет к потерям кормов в размере 60 ц к.ед. (С4), а за счет увеличения посевов х3 будет произведено 3/2 * 22 = 33 ц к.ед. (С3 = 22). В результате производство кормов сократится на 60 - 33 = 27 (ц к.ед, ). Это и есть D6 -оценка данного ресурса. Следовательно, эта оценка показывает, сколько кормов производится в расчете на I га орошаемой пашни (при сложившейся структуре производства) или сколько дополнительной продукции можно будет получить, привлекая дополнительно единицу данного ресурса. Мы изменяли объем только одного вида ресурса: орошаемой пашни, а объем трудовых ресурсов не менялся. Не повлияют ли изменения в оптимальном плане на использование труда? На каждый гектар подсолнечника, возделываемого при орошении, затрачивается 30 чел./дн., а на богаре - 20 чел./дн., следовательно, при сокращении посевов на орошаемой пашне освобождается 30 чел./дн. труда и их можно использовать для выращивания подсолнечника на площади 1, 5 га (1, 5x20= 30 чел./дн.). Таким образом, увеличение посевов подсолнечника на богаре будет обеспечено трудовыми ресурсами. Аналогично можно провести анализ и по коэффициентам переменной х7 (трудовые ресурсы). |
Последнее изменение этой страницы: 2017-03-14; Просмотров: 571; Нарушение авторского права страницы