Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Получение передаточной функции в терминах пространства состояний ⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 3
Пространство состояний — в теории управления один из основных методов описания поведения динамической системы. Движение системы в пространстве состояний отражает изменение её состояний. В пространстве состояний создаётся модель динамической системы, включающая набор переменных входа, выхода и состояния, связанных между собой дифференциальными уравнениями первого порядка, которые записываются в матричной форме. В отличие от описания в виде передаточной функции и других методов частотной области, пространство состояний позволяет работать не только с линейными системами и нулевыми начальными условиями. Для случая линейной системы c входами, {\displaystyle q} выходами и {\displaystyle n} переменными состояния описание имеет вид: {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} {\displaystyle \mathbf {y} (t)=C(t)\mathbf {x} (t)+D(t)\mathbf {u} (t)} Где · {\displaystyle x(\cdot )} — вектор состояния, элементы которого называются состояниями системы · · {\displaystyle y(\cdot )} — вектор выхода, · {\displaystyle u(\cdot )} — вектор управления, · {\displaystyle A(\cdot )} — матрица системы, · {\displaystyle B(\cdot )} — матрица управления, · {\displaystyle C(\cdot )} — матрица выхода, · {\displaystyle D(\cdot )} — матрица прямой связи. Размерности матриц и векторов · - матрица · - матрица · - матрица · - матрица
Таким образом, для нашей цепи необходимо составить систему дифференциальных уравнений первого порядка, которые описывали бы её. В данной цепи изменение двух параметров описывается дифференциальными уравнениями: это ток протекающий через индуктивность и напряжение на конденсаторе . Эти два параметра и примем за параметры системы .
Используя закономерности электротехники, применяемые ранее для данной цепи запишем. При этом Сделаем следующие замены Система примет следующий вид Далее выразим через параметры цепи По 1-му закону Кирхгофа
По закону Ома
Подставляем в ()
Получаем
Подставляем выражение для в систему уравнений
Составим уравнение описывающее выход объекта:
Таким образом, система уравнений, описывающая данную цепочку в терминах пространства состояний, будет иметь следующий вид с учетом нулевых коэффициентов:
Далее по данной системе уравнений составляем матрицы
Для проверки воспользуемся формулой перехода от записи в пространстве состояния к передаточной функции, предварительно подставив значение параметров : Где, – единичная матрица, совпадающая по размеру с матрицей A, – комплексная переменная, – матрицы описания объекта в пространстве состояния В результате получаем такую же передаточную функцию как в разделе 2 Получить запись в пространстве состояния можно и другим способом. Сейчас мы получили запись в пространстве состояний основываясь на известных уравнениях электротехники, изначально строя запись в соответствии с стандартной записью {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} Так же запись в пространстве состояний можно получить, если уже имеем дифференциальное уравнение, которое описывает наш объект. В данном случае у нас данное уравнение получено в разделе 1. Далее рассмотрим общую методику на случай линейной системы с постоянными параметрами одним входом и одним выходом описываемой уравнением
Данное уравнение приведено к виду что бы коэффициент перед старшей производной в левой части был равен 1. Далее в сокращенной форме представим получение записи в пространстве состояний. Более подробное объяснение можно получить в соответствующей литературе. Путем замен понижаем порядок данного дифференциального уравнения, получая при этом систему дифференциальных уравнений первого порядка. Делаем следующие замены , , …
Из первоначального дифференциального уравнения выражаем производную высшего порядка, относящуюся к выходной переменной
На основании произведенных замен составляем систему дифференциальных уравнений первого порядка ………….
Из данной системы дифференциальных уравнений получим матрицу A, состоящую из коэффициентов перед неизвестными
Далее необходимо найти коэффициенты , которые вычисляются по следующим формулам ………………………………. Из этих коэффициентов формируем вектор B Уравнение выхода {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}(t)=A(t)\mathbf {x} (t)+B(t)\mathbf {u} (t)} в нашем случае запишется следующим образом Таким образом, вектор , а вектор C запишется в следующем виде Количество элементов в векторе С равно n Получим запись в пространстве состояний для нашего объекта
Делаем следующие замены ,
Выражаем из нашего уравнения вторую производную, делаем соответствующие замены и записываем систему дифференциальных уравнений первого порядка Уравнение выхода Получаем матрицу A Вектор C
Произведем расчёт коэффициентов Таким образом, вектор B запишется как Вектор Так же сделаем проверку и воспользуемся формулой перехода от записи в пространстве состояния к передаточной функции, предварительно подставив значение параметров : В результате снова получаем такую же передаточную функцию как в разделе 2 Стоит отметить, что разными способами мы получили разные записи в пространстве состояний, при этом передаточная функция получается одинаковой в обоих случаях. Одной передаточной функции может соответствовать множество записей в пространстве состоянии, но записи в пространстве состояний соответствует единственная передаточная функция.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 1063; Нарушение авторского права страницы