Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Основные методы интегрирования. ⇐ ПредыдущаяСтр 4 из 4
Непосредственное интегрирование. Непосредственное интегрирование предполагает использование свойств неопределенного интеграла, таблицы интегралов и различных формул из элементарной математики.
Пример. . Решение. Воспользуемся формулой сокращенного умножения (квадрат суммы), свойствами степеней, свойствами 3-4 и формулой 1 таблицы интегралов:
Замена переменной. Пусть требуется найти интеграл с непрерывной подынтегральной функцией . Сделаем замену переменных, положив , где функция удовлетворяет следующим двум условиям: 1) - непрерывная функция; 2) - непрерывно дифференцируемая функция, имеющая обратную функцию. Тогда . После интегрирования возвращаются к старой переменной обратной подстановкой. Пример. . Решение. .
Пример. . Решение. .
Интегрирование по частям. Интегрированием по частям называется нахождение интеграла по формуле: , где и — непрерывно дифференцируемые функции от . С помощью этой формулы нахождение интеграла сводится к отысканию другого интеграла . Ее применение целесообразно в тех случаях, когда последний интеграл либо проще исходного, либо ему подобен. Применяется формула в следующих случаях: 1) Подынтегральная функция является произведением многочлена на показательную или тригонометрическую функцию. Это интегралы вида: , , . В этом случае в качестве выбирается многочлен . Пример. . Решение. Подынтегральная функция есть произведение многочлена на тригонометрическую функцию (1 случай). Поэтому в качестве выбирается многочлен. .
2) Подынтегральная функция является произведением многочлена на логарифмическую или обратную тригонометрическую функцию. Это интегралы вида: , , , , . В качестве следует принимать обратную тригонометрическую или логарифмическую функцию. Пример. . Решение. Подынтегральная функция есть логарифмическая функция (2 случай). Поэтому в качестве выбирается логарифмическая функция. . Интегрирование рациональных дробей.
Пример. . Решение. Сначала разложим дробь на простейшие: . . . Решая систему, получим: . Тогда исходный интеграл примет вид: .
Пример. . Решение. Так как дробь является неправильной, то сначала выделим целую часть. В результате получим: . Теперь вычислим интеграл: .
Пример. . Решение. Подынтегральная дробь является правильной, так как степень многочлена в числителе меньше, чем в знаменателе. Разложим дробь на простейшие: . . . Решая систему, получим: . Тогда исходный интеграл примет вид: .
Интегрирование тригонометрических выражений. Пример. . Решение. .
б) Оба числаm, n- четные неотрицательные. Применим формулы: . Пример. . Решение. .
Интегрирование иррациональных выражений.
Пример. . Решение. Сделаем замену , откуда , . В результате получим: . Исходный интеграл сведен к интегралу от рациональной функции – неправильной дроби, которую интегрируем с помощью выделения ее целой части: . Таким образом, , где .
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ
Если — некоторая первообразная функции , непрерывной на отрезке , то определенный интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница: . Пример. . Решение. .
Вычисление площади плоской фигуры, ограниченной линиями, заданными в декартовых координатах. В декартовой системе координат элементарной фигурой является криволинейная трапеция (рис.1), ограниченная линиями , , , , площадь которой вычисляется по формуле: Рис.1
Площадь фигуры (рис.2) вычисляется по формуле: Рис.2
Пример. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями Решение.Построим чертеж к задаче (рис. 3). — это парабола (ветви направлены вверх, вершина находится в точке с координатами (0; -2)); — прямая, проходящая через начало координат. Найдем точки пересечения кривых. Для этого решим систему уравнений: . Отсюда Площадь фигуры вычислим по формуле: (кв.ед.).
Рис. 3
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 396; Нарушение авторского права страницы