Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ. ⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2
1. Интегралы вида приводятся к интегралам от рациональных функций аргумента t универсальной тригонометрической подстановкой При этом используются соотношения:
Пример. Найдите неопределённый интеграл Полагаем , тогда 2. Если подынтегральное выражение представляет собой произведение двух тригонометрических функций с разными аргументами, то для вычисления интеграла используют формулы, позволяющие преобразовать произведение в сумму:
Пример.Найдите неопределённый интеграл . Решение. Применяем правило 2; разлагаем подынтегральную функцию на слагаемые, пользуясь тригонометрической формулой, затем интегрируем:
3а. Если подынтегральное выражение имеет вид: sinmxcosnx, причем одна из степеней нечетная, тогда нечетную степень преобразовывают к виду 2l+1, выделяя первую степень и делая соответствующую замену. Например: пусть нечетной является степень m, тогда имеем: m=2l+1. Sinmx=sin2l+1x=sin2lxsinx. Интеграл примет вид: . Таким образом получим: sinxdx=-dcosx и с учетом основного тригонометрического тождества наш интеграл преобразуется к виду: . Далее, возводя в степень и раскрывая скобки, мы получим интеграл от степенных функций, где переменной интегрирования будет cosx. Пример.Найти неопределённый интеграл
3б. Если же в подынтегральном выражении sinmxcosnx обе степеничётные, то для вычисления интеграла необходимо понизить степень один или несколько раз, воспользовавшись для этого формулами: ; ; Пример. Найдите неопределённый интеграл
ИНТЕГРИРОВАНИЕ ДРОБНО-РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ. Рассмотрим интегралы от важного класса дробно-рациональных функций вида . Если , рациональную функцию называют неправильной и называют правильной при . При интегрировании рациональных функций применяют преобразования: 1. Неправильную рациональную функцию представляют, например, путем деления уголком в виде суммы многочлена степени и правильной рациональной функции. Эта операция называется выделением целой части. 2. Правильная рациональная функция представляется в виде суммы элементарных дробей вида , где квадратный трехчлен не имеет действительных корней. Такое представление делается после разложения знаменателя на множители. В конечном итоге интеграл от рациональной функции сводится к сумме интегралов от элементарных дробей и многочлена. Схема разложения дроби на простейшие. 1. В разложение знаменателя входят только множители первой степени и ни один из них не повторяется. Тогда: A, B, …L находятся по методу неопределенных коэффициентов: 1) Освобождаются от знаменателей. 2) Приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях x в правой и левой частях. Получается система 1 степени. 3) Решается система, она имеет единственное решение. 2. В разложении знаменателя входят только множители первой степени и некоторые из них повторяются k раз. 3. В разложении знаменателя входят множители 2 степени (не разложимые на действительные многочлены 1 степени), и не один из них не повторяется. Тогда в разложении дроби каждому множителю соответствует простейшая дробь . Множителям первой степени (если они есть) соответствует простейшие дроби типа . 4. В разложении знаменателя входят множители 2 степени (не разложимые на действительные многочлены 1 степени), и некоторые из них не повторяется. Тогда в разложении дроби каждому множителю , повторяющемуся k раз, соответствует сумма простейших дробей вида: . Примеры. Выделить целую часть рациональной функции и выполнить интегрирование. Делаем деление уголком по следующей схеме до тех пор, пока степень остатка не станет меньше степени знаменателя: Результат деления имеет вид . Многочлен не имеет действительных корней, поэтому разложение получившейся правильной рациональной функции невозможно и приступаем к интегрированию. Пример. Разложить на множители многочлены: , и . Для разложения многочлена на множители в общем случае необходимо найти его корни. Поэтому . Полезно воспользоваться известными формулами или применить искусственный прием: , . Пример. Разложить на элементарные дроби и проинтегрировать функции и . Разлагаем знаменатель на множители и по виду знаменателя записываем искомое разложение . Коэффициенты , и находим из равенства , приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа. Получим систему откуда , , . Интегрируя сумму элементарных дробей с учетом найденных коэффициентов, приходим к результату . Разложение на элементарные дроби функции проводим в аналогичной последовательности. , где , , , ; Пример. Найти и . В некоторых случаях использование специальных приемов позволяет избежать трудоемких преобразований, свойственных общей схеме. Например, в задачах этого номера преобразования можно выполнить следующим образом: Общая схема интегрирования дробных рациональных функций - выделение целой части функции, в результате которого получается представление рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби; - разложение правильной дроби на сумму простейших дробей; - нахождение интегралов от простейших рациональных дробей и суммирование результатов.
|
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 373; Нарушение авторского права страницы