Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Колебания кубических кристаллов
Для кристаллов кубической сингонии тензор упругой жёсткости имеет отличные от нуля компоненты только для одинаковых или одинаковых пар индексов Сiiii, Ciijj, Cijij, Cijji. Тогда матрица тензора колебаний будет:
Теперь для определения частот колебаний надо из диагональных элементов тензора вычесть rw2 и полученный определитель приравнять нулю. · Волны колебаний в направлении [100]. В этом направлении К2= К3=0, К1=K и определитель тензора колебаний будет иметь вид:
Для того, чтобы определитель равнялся нулю необходимо равенство нулю диагональных элементов. Наблюдается три волны в направлении x, y, z, причём волны в направлении y, z имеют одинаковые параметры, так как компоненты тензора упругой жёсткости С2112= С3113. Волны, распространяющиеся в направлении оси х будут иметь частоту: (4.7) rw2= С1111K2, w2=K2 С1111/r. Скорость этой волны будет: v=w/K=Ö (С1111/r). Волны, распространяющиеся в направлении оси х, со смещениями атомов в направлении y, (z) (поперечная волна) будут иметь частоту: (4.8) rw2= K2С2112, w2= K2С2112/r, v=w/K=Ö (С2112/r). · Волны в направлении [110]. Для этого направления К1= К2=К/Ö 2, К3=0. Матрица тензора будет
Определитель для главных значений частот будет:
Получается три решения для трёх типов колебаний. Для первых двух типов колебаний решение находится как корни квадратного уравнения: rw2 =(С1111+C1221 )K2/2±(С1122+C1212 )K2/2=1/2(С1111+C1221± ( С1122+C1212))К2. Откуда (4.9) rw2 =( С1111+2C1221 + С1122)K2/2, (4.10) 2rw2 =( С1111-С1122)K2/2. Третье решение будет: (4.11) 3rw2 =С3113K2. Для определения смещения атомов при каждом типе колебаний надо частоту колебаний подставить в исходный определитель и его решить относительно главных направлений тензора. При этом для первого типа имеем после подстановки:
Алгебраические дополнения для элементов первой строки будут равны (-С2112-С1122)K2/2 и (-С2112-С1122)K2/2, следовательно, амплитуды смещения вдоль оси x и y будут равны и смещение будет происходить вдоль направления [110]. Это продольная волна акустического типа. Для второго типа колебаний после подстановки частоты в исходный определитель будем иметь:
Алгебраические дополнения для элементов первой строки будут иметь противоположные знаки, что говорит о том, что смещения вдоль оси х и y происходит в разные стороны и вдоль направления [-110], т.е. перпендикулярно направлению распространения волны. Это тип оптических колебаний. Третий тип колебаний вызывает смещение вдоль оси z, и перпендикулярно направлению распространения волны и является поперечным типом колебаний. · Волны в направлении [111] Для этого направления распространения волновые вектора равны: К1= К2= К3= К/Ö 3. Тензор будет иметь вид.
В этом тензоре для кристаллов кубической сингонии все диагональные и все недиагональные элементы равны друг другу. Для решения поделим все члены определителя главных значений на не диагональный элемент, и получим определитель
где . Корни этого определителя находятся путём сложения всех столбцов(первый корень), вычитанием из первого второго столбца, сложением первого, второго и вычитанием удвоенного третьего столбца. Решение этого определителя будет три частоты, из которых две будут одинаковые, но с разными функциями смещения атомов: (4.12) 1.х+2=0; rw2 =(С1111+4 С1221+2С1122)K2/3, dх=dy=dz (4.13) 2.х-1=0; rw2 =(С1111+ С1221 -С1122)K2/3, dх=-dy, dz=0 (4.14) 3. х-1=0; rw2 =(С1111+ С1221 -С1122)K2/3, dх=dy=-2dz
Таким образом, для первого типа колебаний смещение атомов будет происходить в направлении волнового вектора К [111].Это продольная волна акустического типа. Второй тип колебаний имеет смещения в направлении [1-10] или перпендикулярно направлению распространения, третий тип колебаний имеет направления смещения атомов [11-2] и тоже перпендикулярно направлению распространения волны. Эти два типа колебаний принадлежат к оптической ветви колебаний. Скорости распространения двух последних волн колебаний равны. Величины волнового вектора К определяется длиной волны К=2p/l, а скорость распространения равна v=w/K. Откуда скорость продольной волны будет: , а скорость поперечных волн будет .
· Другие направления распространения колебаний. Для других направлений следует находить главные значения тензора колебаний и главные направления, однако для них решение может не быть в аналитическом виде. Точно также направления продольных и поперечных волн и подразделение на продольные и поперечные волны зависит от выбранного направления в кристалле. |
Последнее изменение этой страницы: 2017-04-12; Просмотров: 300; Нарушение авторского права страницы